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采样率、每个符号的采样数和数字脉冲整形

信息处理数字通讯奈奎斯特 qpsk 格努拉迪奥基带

2022-01-31 04:23:03

对复杂基带（通带）信号的数字脉冲整形有些困惑。复基带线性调制方程为

\begin{matrix} (2) & s (吨) = \sum_{米 = - \infty}^{\infty} 关于 {{一种}_{米}} H (吨 - 米 吨) + j \sum_{米 = - \infty}^{\infty} 我是 {{一种}_{米}} H (吨 - 米 吨) \end{matrix}

$s(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\text{Re}\{a_m\}h(t-mT)+j\sum_{m=-\infty}^{\infty}\text{Im}\{a_m\}h(t-mT)\tag{2}$ 在哪里

a_{m}

$a_m$ 是符号和

h

$h$ 是脉冲整形滤波器的脉冲响应。现在考虑这是一个带有 QPSK 符号的根升余弦滤波器。

参考文献中经常提到，脉冲整形滤波器的输出速率应至少是输入速率的两倍——换句话说，脉冲整形滤波器应至少是 2x 内插器。例如，以下等式适用于所需的（正）带宽：

乙 W = (1 + 一种) \frac{R_{b}}{2 {日志}_{2} (米)} = (1 + 一种) \frac{R_{s}}{2}

$BW = (1+a)\frac{R_b}{2\log_2(M)} = (1+a)\frac{R_s}{2}$ 在哪里

R_{b}

$R_b$ 是比特率，

a

$a$ 是多余的体重，

R_{s}

$R_s$ 是符号率，并且

M

$M$ 是星座大小。因此，为了满足奈奎斯特准则，我们必须至少采样

f_{s} = (1 + a) R_{s}

$f_s = (1+a)R_s$ . 我相信另一种说法是双边带宽

(1 + a) R_{s}

$(1+a)R_s$ 等于复采样率。

所以考虑一些值，取 $a=0$ 给出 sinc 脉冲，数字脉冲整形滤波器理论上可以在每个符号 1 个（复数）样本下运行，即输入和输出速率均为 $R_s$ （忽略使用 sinc 脉冲的所有其他明显缺点）。

另一个共同的价值 $a=0.35$ ，给我们一个采样率 $1.35R_s$ ，所以我们至少需要一个分数插值滤波器（例如上采样 27，下采样 20）以避免混叠。很明显，每个符号似乎可以实现少于 2 个复杂样本。我的问题是，如果这是正确的，那么当实际限制是每个符号 1 个复杂样本（例如 GnuRadio 星座调制器是一个）时，为什么这么多的引用和库要求每个符号至少有 2 个（复杂）样本。我假设这仅仅是因为简单，并且 2 是一个易于插入和覆盖允许 RRC 带宽范围的值。

第二个相关问题，假设我们正在做 BPSK，例如 $\text{Im}\{a_m\} = 0$ . 在这种情况下，如果您仍然处于 IQ 系统中，那么在我看来，您实际上需要每个符号 2 个复数样本，以便实际上将每个符号 2 个真实样本提供给 BPSK I 通道。也许这是要求每个符号最少 2 个复杂样本的另一个原因？

1个回答

是的，OP 是正确的，因为您可以在每个符号少于 2 个样本中实现脉冲整形，这正是所概述的原因。然而重要的是，我们还必须记住有多余的带宽以简化所需的后续滤波（例如在发送器侧的 DAC 之后）。奈奎斯特标准是采样率必须是信号最高带宽的两倍。因此，如 OP 所述，可以使用更少的每个符号样本来完成较慢的滚降信号。然而，它们将需要更大的时间响应，这意味着每个符号脉冲的总体样本量要远远超过符号周期，每个符号少于 2 个样本。通常规定每个符号 2 个样本的原因是为了便于实施，因为符号率和采样率之间存在任何同步。

一个复杂的 BPSK 系统将是复杂的，仅用于载波恢复；一旦接收到的符号旋转到实轴，就不再需要虚轴了。然而，无论信号是复数还是实数，每个符号的样本数的决定都是相同的，正如最初概述的那样（必须大于信号带宽的两倍，特别是它是有意义的带宽 - 超出我们不是涉及存在于所选采样率给定的带宽之外的残余频谱的混叠。

为了帮助查看此处的所有注意事项，我们提供了使用 100 Tap FIR 实现的根升余弦实现的两种变体的频谱图。第一个是每个符号 10 个样本，而第二个是每个符号 2 个样本。特别注意，由于滤波器的整体时间响应更长，在接近主带宽时实现了更大的抑制（因此复杂度相同但每个符号的样本更少，脉冲响应的持续时间更长，因此更接近理想的无限长响应）。第一个每个符号有更多样本的优点是能够在后续阶段进行更宽松的过滤，

下图中的采样率具体为每个符号 2 个样本，在此示例中具体为 2000 Hz。从图中我们可以看出，只要我们不关心低于 -60 dB 的折叠噪声，理论上我们可以将此采样率降低到大约 700 Hz，同时仍保持脉冲的通带特性。但是，请考虑 DAC 之后的发送滤波器需要什么来滤除以采样率为中心的通带镜像（除了 DAC 提供的自然 Sinc 滤波器；这不足以满足带外排放要求！）。一种解决方案是在较低速率的脉冲采样波形和 DAC 之间进行插值，但即使是正确的插值滤波器设计也会因没有任何可用的过渡带而受到挑战！

这说明了将采样率降低到恰好两倍带宽的基本挑战（其中带宽将是显着的带宽，在此之后任何折叠/混叠都远远低于性能要求所规定的带宽），这对发射机来说更令人担忧由满足带外发射所需的后续滤波决定的方面：给定通带的镜像频率响应，其将围绕采样率对称；如果我们以发射器中有效带宽的两倍进行采样，则所需的滤波将无法实现，因为滤波器没有过渡带来拒绝位于采样率整数倍的 DAC 之后的图像。

在接收端，我们只需要足够的额外带宽来处理由于多普勒和 Tx/Rx 同步引起的频率偏移，因此有更多的机会/实用性可以将采样率降低到 2 个样本/符号以下。每个符号两个样本仍然便于常见的时序恢复实现，例如 Gardner TED（Gardner 算法和 Early-Late 门不是同一件事吗？），并允许简单地提取每个符号一个样本的决策。

与接收器考虑相关的是波特率均衡器，它以每个符号 1 个样本运行，性能影响与 OP 所做的确切点相关，但关键是它们仍然能够工作。此处进一步详细介绍了分数间隔均衡器的好处。这也类似于 M&M 定时恢复算法在每个符号一个样本上的操作方式，但在存在载波偏移的情况下性能不如 Gardner。

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