信息处理 - 平均功率的定义？ - 吾爱随笔录

平均功率的定义？

信息处理功率谱密度自相关随机过程信号功率

2022-01-30 05:14:09

我在随机信号课和教科书中遇到了两种平均功率：

定义1：平均功率= 定义2：平均power = 看来这两个定义是不同的，除非信号在中是遍历的。顺便说一句，我们的老师在测试中一直使用术语“假设白噪声的平均功率为 ”。但是从上面的定义来看，连续白噪声的平均功率是无限的。我认为在离散白噪声中，平均功率可以很好地定义，但在连续白噪声中，我想知道我们的老师可能会错误地定义。

E [| x (t) |^{2}] = R_{x x} (0) = \int_{- \infty}^{\infty} S_{x x} (f) d f

$E[|x(t)|^2]=R_{xx}(0)=\int^\infty_{-\infty} S_{xx}(f)\,df$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int^{T}_{-T}|x(t)|^2\,dt$

x (t)^{2}

$x(t)^2$

n (t)

$n(t)$

σ_{N}^{2}

$\sigma_N^2$

2个回答

第一个定义适用于确定性和随机信号。对于随机信号，我们将自相关定义为

\begin{matrix} (1) & R_{x} (τ) = E {x^{*} (t) x (t + τ)} \end{matrix}

$R_x(\tau)=E\{x^*(t)x(t+\tau)\}\tag{1}$

其中 $E\{\cdot\}$ 是期望运算符。对于确定性功率信号（即具有有限但非零功率和无限能量的信号），我们定义

\begin{matrix} (2) & R_{x} (τ) = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} x^{*} (t) x (t + τ) d t \end{matrix}

$R_x(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int^{T}_{-T}x^*(t)x(t+\tau)dt\tag{2}$

从可以清楚地看出，对于确定性功率信号，平均功率的两个定义是等价的，因为对于随机信号和确定性功率信号，我们有 $(2)$

\begin{matrix} (3) & S_{x} (f) = F {R_{x} (τ)} \end{matrix}

$S_x(f)=\mathcal{F}\{R_x(\tau)\}\tag{3}$

也看看这个相关的答案。

你对白噪声的力量是正确的。在连续时间内，白噪声具有无限的力量。只有离散时间的白噪声具有有限的功率。总之，教师和教授只是人。

另一种看待这个问题的方法是注意对于连续时间，白噪声的自相关函数通常给出为：其中是狄拉克 delta 函数。如果从概率的角度来看，与无关，因为。从工程师的角度来看，即使的值非常小，的知识没有预测价值。必然地，带宽需要是无限的。

R_{x x} (t, t + τ) = σ^{2} δ (τ)

$R_{xx}(t,t+\tau)=\sigma^2 \delta(\tau)$

δ (t)

$\delta(t)$

P (x (t + τ)

$P(x(t+\tau)$

P (x (t)

$P(x(t)$

τ > 0

$\tau > 0$

τ

$\tau$

x (t)

$x(t)$

这是物理上无法实现的。这是一个理想化的抽象。

因此，如果我们将一个普通的老式电压表放在一个电阻上并测量由于温度引起的整流电压，电压表不会消失在一阵烟雾中，因为热噪声通常被建模为白色，而无限功率毕竟是无限的。针头可能会有与相关的摆动。本质上，白噪声就像诚实和美德，一种有价值的理想化。白噪声必然是频带受限的，但在我们感兴趣的频带上是平坦的。 $\sigma^2$

回到测量连续时间电压的电压表，测量本身是时间孔径上的平均值，因此我们的安全地位于积分内。 $\delta(t)$

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