$e^{ik\theta}$，其中是任何非零整数，均匀分布在复平面单位圆上。的期望值为的方差为因为所有可能观察到的值都与距离为期望值$k$$e^{ik\theta}$$\displaystyle\frac{\int_0^{2\pi} e^{ik\theta} d\theta}{2\pi} = \frac{i - ie^{2\pi i k}}{k} = \frac{i - i}{k} = 0.$$e^{ik\theta}$$1,$$1$$0.$

$e^{i0\theta} = 1$是常数。

如果您用符号表示永远不会观察到值和，那么只有在，因为分布环绕通过点在$(0, 2\pi)$$0$$2\pi$$e^{ik\theta} = 1$$|k| > 1$$e^{ik\theta} = 1$$\theta = 2\pi/k.$

更一般的解决方案可以从 Von Mises 分布 当时，它等于

$$f(x\mid\mu,\kappa)=\frac{e^{\kappa\cos(x-\mu)}}{2\pi I_0(\kappa)}$$ $\kappa=0$$-\pi \le x \le \pi$

圆矩

$$m_n = E\{ e^{\jmath n x} \}= \int_{-\pi}^{\pi} e^{\jmath n x}f(x\mid\mu,\kappa) dx =\frac{I_{|n|}(\kappa)}{I_0(\kappa)}e^{i n \mu}$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_distribution