好的，我发现了一些关于在对象识别中使用傅立叶变换的想法。然而，我无法理解的是它的缺点。为什么该方法被丢弃。

对于那些有兴趣阅读傅里叶变换如何应用于对象识别的人，请查找傅里叶梅林变换。

傅里叶-梅林变换是一种有用的图像识别数学工具，因为其产生的光谱在旋转、平移和缩放方面是不变的。傅立叶变换本身 (FT) 是平移不变的，其转换为对数极坐标将比例和旋转差异转换为可以测量的垂直和水平偏移。第二个 FFT，称为 Mellin 变换 (MT)，给出了一个变换空间图像，该图像不受平移、旋转和缩放的影响。

步骤：傅里叶变换

离散傅里叶变换 (DFT) 由以下表达式给出：

这通常使用快速傅里叶变换算法来计算，以加快计算所需的时间。

笛卡尔到对数极坐标转换 FFT 通过如下所示的坐标变换投影到对数极坐标平面上。

对于从笛卡尔坐标到对数极坐标的转换，以下等式成立：

$$r = \sqrt{x^2+y^2}$$

起源$(m_o, n_o)$应位于图像矩阵的中心，以确保包含最大数量的像素。如果图像由正方形组成$N \times N$矩阵则原点坐标为：

转换的最大采样半径现在可以计算为：

如果选择内切圆作为转换边界，则位于圆外的一些像素将被忽略。如果选择了外接圆，则将考虑所有像素，但也会包括一些无效像素（落在圆内但在图像矩阵之外的像素）。

由于笛卡尔坐标中的像素不能一对一映射到对数极坐标空间中的像素上，因此需要计算周围像素的平均值。执行此操作的标准方法包括最近邻、双线性和双三次重采样。

极坐标之间的关系（$\rho$,$\theta$) 用于对输入图像和对数极坐标图像的极坐标进行采样 (r ,$\theta$) 可以描述为：

$$(\rho,\theta) = (e^r, \theta)$$

将输入图像像素 imagein(xi,yi) 映射到输出图像像素 imageout(rm,$\theta$m)，坐标 xi, yi 使用以下公式计算：

在哪里

$$(\rho,\theta) = (e^r, \theta)$$

下一步是获得一个变换空间图像，它是原始图像的旋转和尺度不变表示。这是使用梅林变换完成的，可以表示为：

转换为极坐标，我们有：

现在使用

$$(\rho,\theta) = (e^r, \theta)$$

我们得到：

傅里叶梅林变换已用于R. Moller、H. Salguero、E. Salguero 中的图像识别：“使用傅里叶-梅林变换进行图像识别”，LIPSE-SEPI-ESIME-IPN，墨西哥