信息处理 - 概率密度函数的功率谱密度 - 吾爱随笔录

信号样本 $x[n]$ 是 iid 并遵循三角形 pdf $a = 0,\ b = 2,\ c = 1$ ：

信号的直流功率为

μ_{x}^{2} = (E (X))^{2} = {(\int_{- \infty}^{\infty} x f_{x} (x) d x)}^{2} = 1

$\mu_x^2 = \big(\mathbb{E}(X)\big)^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} x f_x(x)dx\right)^2 = 1$

信号总功率

E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f_{x} (x) d x = \frac{7}{6}

$\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_x(x)dx = \frac{7}{6}$

和方差（交流功率）为

σ^{2} = E ((X - μ_{x})^{2}) = E (X^{2}) - μ_{x}^{2} = \frac{1}{6}

$\sigma^2 = \mathbb{E}\big((X-\mu_x)^2\big)= \mathbb{E}\left(X^2\right)-\mu_x^2 = \frac{1}{6}$ .

因此我认为，信号的 PSD 具有以下形式：

S_{x x} (e^{j ω}) = 2 π δ (ω) + \frac{1}{6}

$S_{xx}(e^{j\omega}) = 2\pi \delta(\omega) + \frac{1}{6}$

因为交流功率在整个频谱上产生一个恒定值，而直流功率在狄拉克三角洲 $\omega = 0$ . 此外，PSD 上的积分应该返回信号的总功率：

\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} S_{x x} d x = E (X^{2})

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} S_{xx} dx = \mathbb{E}(X^2)$

我的解决方案是正确的还是我错过了什么？在假设所有样本 $x[n]$ 是独立同居吗？