信息处理 - 用离散小波变换理解 Parseval 定理 - 吾爱随笔录

我很难理解将 Python 中的 Parseval 定理实现到 DWT 所得到的结果。我在 python 中通过傅里叶变换和时间序列获得了很好的结果：

# Parseval theorem energy
def ParsevalTheorem(data):
    energy_sum = 0
    for i in range(len(data)):
        energy_sum += abs(data[i])**2
    return energy_sum

# dwt_data[0] => approximation component at final level, dwt_data[1:] => detail components
def DWTParseval(dwt_data):
    details_sum = 0
    for i in range(len(dwt_data)-1):
        details_sum += ParsevalTheorem(dwt_data[i+1])
    approx_sum = ParsevalTheorem(dwt_data[0])
    final_sum = approx_sum + details_sum
    return final_sum

fourierTransform = np.fft.fft(short_signal)
print("fourier energy: ", ParsevalTheorem(np.abs(fourierTransform))/len(fourierTransform))
print("Org energy: ", ParsevalTheorem(short_signal))
print("DWT energy: ", DWTParseval(app1)) # app1 is haar discrete wavelet transform using pywt.wavedec(data, "haar", level = 3)

结果：

fourier energy:  1305035.7546624008
Org energy:  1305035.7546624022
DWT energy:  1309077.6827128115

我从方程中收集了有关使用 Parseval 定理的信息：方程 Link1

我还遇到了另一个获取能量的方程式，但是如果我将近似和除以它的长度，它的范围与原始信号能量完全不同：方程式 Link2

我在处理傅立叶变换时理解了 Parseval 定理，但在处理 DWT 时却迷失了这些方程。

PS：我知道有更多的 Pythonic 方式来编写代码，但我也打算用不同的语言应用它。