信息处理 - IIR 传递函数的零频响应 - 吾爱随笔录

IIR 传递函数的零频响应

信息处理 matlab 过滤器频率无限脉冲响应

2022-02-02 11:31:34

我对 IIR 滤波器的零频率 (DC) 响应有疑问。三阶 IIR 滤波器的系数如下：

% polynomial coefficients for the numerator of the IIR transfer function
b = [0.0066324, -0.0130292, 0.0063988]; 

% polynomial coefficients for the denominator of the IIR transfer function
a = [1, -1.4158855, 0.4158913];

请注意，所有的根a都小于一，但一个非常接近一。我试图理解为什么 MATLAB 的filter()函数会产生以下结果：

rng default;
x = rand(15,1);
y = filter(b,a,x);
mean(y)/mean(x)   

>> 0.0012

在最后一条语句中，我计算了输入和输出均值的比率，MATLAB 返回 0.0012。

（即）的零频率来看，我预计. 检查这个， $H(z)=0.3448$ sum(b)/sum(a)=0.3448mean(y)/mean(x)=0.3448

[H,W] = freqz(b,a);
H(1)

>> 0.3448

我是否在这里误解了关于 MATLABfilter()函数的某些内容，或者对传递函数的零频响应的其他误解？感谢任何能够提供对此问题的见解的人。

3个回答

由于单位圆附近的极点，脉冲响应直到数万个样本后才真正稳定下来。相比之下，您输入的 15 个样本非常短。尝试让它更长：

x = rand(15E6,1);
y = filter(b,a,x);
mean(y)/mean(x)

>> 0.34252

此外，过滤器以对应于全零输入历史的状态开始。如果您使用实际输入对其进行预处理，则结果将收敛得更快：

x = rand(15E6,1);
y = filter(b,a,x);
mean(y(5E6:length(y)))/mean(x(5E6:length(x)))

>> 0.34483

您的基本假设是正确的：如果您对两个序列进行卷积

\begin{matrix} (1) & y [n] = (x ⋆ h) [n] \end{matrix}

$y[n]=(x\star h)[n]\tag{1}$

那么他们的变换与 $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & Y (z) = X (z) H (z) \end{matrix}

$Y(z)=X(z)H(z)\tag{2}$

从中

\begin{matrix} (3) & Y (1) = X (1) H (1) \end{matrix}

$Y(1)=X(1)H(1)\tag{3}$

跟随。在递归滤波器的情况下，并且 $H(z)=B(z)/A(z)$

H (1) = \frac{B (1)}{A (1)} = \frac{\sum_{n} b_{n}}{\sum_{n} a_{n}}

$H(1)=\frac{B(1)}{A(1)}=\frac{\sum_nb_n}{\sum_na_n}$

其中和分别是分母和分子系数。 $a_n$ $b_n$

您的实现的问题是该函数filter()不计算输入信号与滤波器脉冲响应的完整卷积，但它只计算与输入样本一样多的输出样本。请注意，实际卷积结果的长度总是比输入序列长。在你的情况下，它很长，实际上是无限长的（因为你有一个 IIR 滤波器）。

Olli Niemitalo 的解决方案是可以的，但它并没有解决问题的所有细节，因为使输入信号更长并不能完全解决问题。由于滤波器的记忆，它只会降低瞬态的相对贡献。仍然没有考虑输入信号关闭后滤波器的瞬态响应。

等式 (3) 当然必须适用于任何输入信号，也适用于非常短的信号。所以你需要做的是在输入信号上附加零，这样你在输入信号关闭后也能得到瞬态响应。从理论上讲，您需要附加无限多个零，因为您的过滤器的内存（理论上）是无限长的。而且由于滤波器的一个极点非常接近单位圆，因此即使出于实际目的，滤波器的内存也特别大。

在 Matlab/Octave 中，您可以执行以下操作：

b = [0.0066324，-0.0130292，0.0063988]；
a = [1, -1.4158855, 0.4158913];
x = 兰德（15,1）；
x0 = [x;zeros(1e6,1)];
y0 = 过滤器(b,a,x0);
[sum(y0)/sum(x0),sum(b)/sum(a)] % 应该（几乎）相同

A部分：双线性变换法

设计具有以下规格的低通 IIR 滤波器：

过滤阶数 = 2，巴特沃斯类型

截止频率=800 Hz

采样率 =8000 Hz

使用双线性 z 变换设计方法进行设计

使用 MATLAB 打印低通 IIR 滤波器系数并绘制频率响应。

MATLAB>>freqz(bLP,aLP,512,8000); 轴（[0 4000 –40 1]）；% 采样率=8000 Hz

标记并打印您的图表。

根据幅频响应图，截止频率和 2000 Hz 处的阻带和 50 Hz 处的通带的滤波器增益是多少？

其它你可能感兴趣的问题

上一篇SOLA 时间拉伸方法中的拉伸因子下一篇削波噪声会使光谱着色吗