信息处理 - 从最初为 Toeplitz（非循环）的系统矩阵解释 FFT 系数 - 吾爱随笔录

如果我有一个测量信号 $y$ , 真实信号 $x$ , 和一个卷积矩阵 $A$ 这是一个 Toeplitz 但不是循环矩阵，我可以将卷积写为

y = A x .

$\begin{equation} y = A x \ . \end{equation}$

但是，我想使用傅里叶变换的对角化系数来分析系统。下面给出的重新公式通常用于提供一种快速计算的方法：

[\begin{matrix} y \\ y^{'} \end{matrix}] = C [\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array}] [\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A x \\ B x \end{matrix}],

$\begin{equation} \left[\begin{array}{c} y\\ y' \end{array}\right] = C \left[\begin{array}{c} x\\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x\\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} A x \\ B x \end{array}\right] \ , \end{equation}$ 在哪里

C

$C$ 是一个循环矩阵，其中 Toeplitz 矩阵

A

$A$ 嵌入，使用额外的矩阵

B

$B$ 来自的值

A

$A$ .

的诊断值 $C$ 可以通过与离散傅里叶变换矩阵相乘来获得。但是这些值是否与解释原始系统的行为相关， $y = Ax$ - 例如，用于为原始系统构建维纳滤波器？