问题

考虑到$1\over{2\pi}$是频率$\cos x$还有的$\cos x - 2\cos 2x$, 频率是多少$\cos x - \sqrt 2\cos\sqrt 2 x$?

想法

也许“频率”不是有趣的数量。我认为这个时期是无限的。这将使频率为零。也许我想知道的是带宽？

我认为两个波的加法组合（叠加）会产生更高频率的分量$1/(2\pi(\sqrt 2-1))$. 我希望采样频率为$1/(\sqrt 2\pi -\pi)$足以揭示我们希望的尽可能多的过零。那是对的吗？这是最好的答案吗？

当我参加那门课程时，我了解了傅立叶级数和偏微分方程，并且我仍然掌握了大致的概念，但是已经很长时间了。

动机

错误地，我为我的同事设计并提出了这个问题，作为每周一次的数学挑战，然后我才意识到我自己不知道如何得到答案。

我将另外提供一些关于我提出这个特定问题的动机的背景。也许它可以帮助您给出与我相关的答案。但是，这些背景信息本身并不是我的问题的一部分。因此，我提出了关于频率的问题，希望让我们更接近 Mark Kac 用来阐明随机独立性的另一个问题。也就是说，给定任何特定值$-2 <\alpha < 2$, 在区间的几分之一$0\leq x < 100$（只是选择一些任意界限）是$f(x) <\alpha$在哪里$f(x) = \sin x - \sin\sqrt 2 x$? 我想达到的有趣目标是，这个进一步问题的答案是（在某种程度上与）正态分布函数有关，但不涉及任何“随机”。

当然$f'(x) =\cos x -\sqrt 2\cos\sqrt 2 x$. 如果我知道$f'(x)$那么我希望我能至少在数字上找到它的零交叉点。这些包括所有的局部极值$f(x)$. 然后，知道 sum-to-product 公式给出$f(x) = 2\cos(x/2+x/\sqrt 2)\sin(x/2-x/\sqrt 2)$, 我认为我和我最喜欢的计算机代数系统至少在数字上可以找到$f(x) <\alpha$.