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如何避免 FFT 位增长？

信息处理 fft 位深度

2022-01-27 12:52:51

我尝试在 FPGA 中实现 radix-2 DIT FFT 算法。但是，我不明白如何为旋转因子和输入数据的乘法和加法过程设置位增长。

例如，我的输入数据是 13 位有符号数，其分数为 0 位（sfix13_0），而我的旋转因子是 16 位有符号数，分数为 15 位（sfix16_15）。所以第一步是将这两个数字相乘。之后，我添加了乘法运算的输入和输出的第一个样本。我得到 32 位有符号数，只有 15 位的一小部分。问题是如果我为 FFT 算法做 10 个阶段，我的输出有很大的位深度。

如何在每个阶段的乘法和加法运算后设置位深度？在不破坏FFT结果的情况下应该进行什么样的操作，我们如何从理论上解释它？

例如，我在 MATLAB 中模拟 16 点 FFT 和 4 个阶段的位增长。但是，我用 60 位小数达到 128 位有符号数。我认为如果我将这种方法应用于 10 个阶段，输出将获得非常高的位深度。

我添加 MATLAB 输出：

该图像具有输入和输出数据。图片左侧显示输入，图片右侧显示输出，图片中间显示乘法和加法运算（称为蝶形）。

在进行 1024 点 FFT 时，如何处理这种位增长，尤其是整数部分？

1个回答

定点 FFT 很棘手。不幸的是，这在很大程度上取决于您正在处理的信号类别。

我们如何从理论上解释它？

让我们从 FFT 的能量守恒定义开始

X [k] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] \cdot e^{- j 2 π \frac{k n}{N}}

$X[k] = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1}x[n] \cdot e^{-j2\pi\frac{kn}{N}}$

这保留了两个域中的能量，即。 $\sum x^2[n] = \sum |X[k]|^2$

如果将此应用于“类噪声”信号，则输出通常具有与输入相同的幅度范围，因此只需添加一些保护位就可以了。

但是，如果将其应用于正弦波，峰值幅度将大约大，这意味着您至少需要保护位来适应频域的非常大的波峰因数信号。 $\sqrt{N}$ $\log_2(N)/2$

如何在每个阶段的乘法和加法运算后设置位深度？

这在很大程度上取决于您的实施的具体要求：所需的 SNR 是什么，输入信号的类型是什么，您对偶尔削波的敏感程度等。这始终是信噪比和削波风险之间的权衡（这只是一种不同类型的噪音）以及您想要花费多少比特。

我会从

使用缩放，即每第二阶段的结果右移 1 $\sqrt{N}$
所有的旋转因子都等于或小于 1。您可以将它们表示为 Q0.15
您的数据是 Q13.0，因此乘法将导致 Q13.15
对于 1024 位 FFT，您应该添加至少 5 个保护位，因此所有中间结果和输出可能应该在 Q18.15 或 Q19.15 中。
使用 Q19.15 中的数据和 Q0.15 中的旋转因子执行所有蝴蝶。将结果截断到 Q19.15 并重复。
每隔一个阶段缩放 0.5（右移）或将每个阶段缩放 sqrt(0.5)，如果这样做便宜的话。
您的输出将在 Q19.15 中，因此您可以将其截断/舍入为您需要的任何格式或位深度。您只需要确保可以容纳输出的波峰因数
如果您仅限于 32 位，那么我会选择 Q18.13 和 Q0.13 中的旋转。您的信噪比会降低 12 dB，但这可能已经足够了。

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