对于奈奎斯特-香农采样信号上的一些采样保频操作，例如：

• 一个转变又名翻译，和
• 通过应用导数滤波器（也称为梯度滤波器）进行微分，

每个任务的理想滤波器具有无限数量的抽头，其权重是通过对 sinc 函数或其导数进行采样而获得的。在实践中，通常使用有限脉冲响应(FIR) 近似。

对于给定的最大可接受近似误差水平，如果存在开销，则近似 FIR 滤波器中所需的最小抽头数会减少$f_B\ldots f_s/2$最高频率之间$f_B$信号的一半和采样频率的一半$f_s$. 从滤波器设计的角度来看，这种开销是通过将输入信号过采样一个因子获得的$\beta = f_s/(2f_B) > 1$创建一个非零宽度的过渡带并放宽对滤波器的要求，如图 1 中描述的简单近似导数滤波器的幅度频率响应所示。

图 1. 理想导数滤波器的任意归一化幅度频率响应（对角红线）及其具有脉冲响应的近似值（黑色曲线）$-3/16,$ $31/32,$ $0,$ $-31/32,$ $3/16$. 对于理想的过采样，高于信号最高频率的频率响应（垂直蓝线）不会导致近似误差。

但是，假设以相同的采样频率对输出信号进行采样$f_s$作为输入信号，增加$f_s$增加输出样本的数量，这增加了点积之间的次数$N$过滤权重和$N$需要计算信号样本。一般来说，对于一维信号，$\beta N$与输入和输出信号的严格采样（非过采样）表示中的样本数量相比，需要的乘法累加操作 (MAC) 是其倍数。

对于这样的任务，哪个过采样因子$\beta$最小化$\beta N$，要求 FIR 滤波中的总 MAC 最少，且不超过通过合理误差度量测量的给定最大可接受近似误差？

上采样以获得过采样输入信号应被认为是理想的，并且不会影响 MAC 计数，就好像输入信号是完全预过采样获得的一样。