请注意，对于简单的2D DFT而不是$\mathcal O(N^2\log N)$$\mathcal O(N^4)$

也就是说，既然你提到你想沿着类似雷达的模式的波束获取频谱信息，听起来你真的对计算每个这样的波束的 1D FFT 更感兴趣。在这种情况下，对于个光束，计算复杂度将是。$M$$\mathcal O(MN \log N)$

作为说明，让我们处理下图：

我们将使用以下示例 matlab 代码从中提取一组$M$

% Number of beams to extract
M = 200;

% Convert the input image "img" to polar coordinates
c = size(img)/2+1;
N = max(size(img));
angles = 2*pi*[0:M-1]/M;
radius = [0:floor(N/2)-1];
imgpolar = zeros(length(radius), length(angles));
for ii=1:length(radius)
  xi = min(max(1, floor(c(2)+radius(ii)*cos(angles))), size(img,2));
  yi = min(max(1, floor(c(1)-radius(ii)*sin(angles))), size(img,1));
  imgpolar(ii,:) = img(sub2ind(size(img), yi, xi));
end
% Compute the FFT for each beam angle
ImgFD = fft(imgpolar,[],1);

figure(1);
freqs = [0:size(ImgFD,1)-1]/size(ImgFD,1);
surf(angles, freqs, 10*log10(abs(ImgFD)+1), 'EdgeColor', 'None');
view(2);
colormap("gray");
xlabel('Beam angle (radians)');
ylabel('Normalized frequency');

产生：

可以将其折叠为作为光束角度函数的振幅总和，以给出：

SumAmplitudes = sum(abs(ImgFD),1);
figure(2);
hold off; plot(angles, 10*log10(SumAmplitudes+1));
xlabel('beam angle (radians)');
ylabel('Sum of amplitudes (dB)');

作为旁注，如果您可以使用沿这些光束的幅度平方和（而不是幅度之和），那么由于Parseval 定理，您可以直接在空间域中执行此操作（这将使计算复杂度降低到$\mathcal O(MN)$，主要是转换为极坐标）。使用以下代码可以看到等价（对于幅度平方和）：

% Compare the result of square amplitude summation in the frequency domain vs spatial domain
SumFD = sum(abs(ImgFD).^2,1)/size(ImgFD,1);
SumSD = sum(abs(imgpolar).^2,1);

figure(3);
hold off; plot(angles, 10*log10(SumFD+1), 'b');
hold on;  plot(angles, 10*log10(SumSD+1), 'r:');
xlabel('beam angle (radians)');
ylabel('Sum of squared amplitudes (dB)');
legend('Frequency domain', 'Spatial domain', "location", "southwest");

请注意在空间域和频域中计算的曲线的重叠：

更新：

如果您实际上正在计算 2D 频率图中类似雷达的波束，正如您在另一篇文章中所建议的那样，那么您最好回到执行 2D FFT，这将是有序的$\mathcal O(N^2 \log N)$. 然后，您可以将频率系数之和转换为极坐标形式，这将增加一个小的$\mathcal O(N^2)$，所以结果仍然以 2D FFT 为主。