第一个最难的

对于给定的最大 200 kHz 主信号，我的采样频率应该是多少？

假设您的采样是实值的，根据香农-奈奎斯特定理，听起来就足够了——但问题是它不是，由于模棱两可的原因，请参阅以下。$f_s > 2(200 + 30)\text{ kHz}$

我应该采取什么 DSP 方法？

首先，对结果信号进行建模；这在这里并不难做到。当人们说“调制”时，人们的意思是不同的，但我将继续假设最有可能的情况：主要信号被次要调制意味着您的结果信号包含和频。

因此，频谱估计确实是您所追求的。

此外，您需要一个比 DFT 更有效的估计器，但不必能够估计很多频谱分量——事实上，您只对单个分量感兴趣，即次要和主要的总和频率。

我建议使用 ESPRIT，参数化为单音来检测。

无论您使用什么光谱估计器，它们都会暴露出一个特定的方差，该方差通常会随着您考虑的样本数量而减少——将您所需的光谱分辨率 (1 Hz) 与该方差相关联，您将获得大量样本需要得到一个足够“准确”的估计。该样本数量将意味着采样率，这可能会远高于上述奈奎斯特界限。

现在，如果你的信号只包含用干净的次级信号调制的完美初级，你就会迷失在这里——因为如果你发现你得到的信号是 150.3 kHz，你无法判断那部分是主要的和次要的部分。从数学上讲，从次要频率的变化中分辨出初级频率的变化是不可能的，以免您的调制不只是将频率相加。因此，仅仅为您的“干净”信号满足 Nyquist 对您没有帮助 - 这些中根本没有信息可以让您区分主要和次要信号。

幸运的是，你有噪音。您没有告诉我们任何有关此的信息，但我会假设以下内容：

• 它可以添加到您的辅助信号中，
• 它具有零均值（从测量质量的角度来看这将是好的；否则，我们可以将其建模为 DC + 零均值过程），
• 它的观测表示在频谱上是对称的，
• 它与主要和次要信号都不相关。

添加到您的辅助信号意味着您将获得主要信号与噪声相乘。这意味着我们得到了另一种，尽管是“不干净”的“音调”！

所以我们在得到的信号中得到了两个频谱分量：

1. 频率为的音调，$f_\text{primary}+f_\text{secondary}$
2. 主要频率周围的区域，通过噪声的频谱形状和主要音调的狄拉克的卷积形成频谱形状

现在，2. 很难估计，对吧，因为它在频谱中都“模糊”了？

好消息是，通过足够的过采样并减去减去 ESPRIT 估计的音调的结果，我们可以找到频谱中第二分量的“中心”——这就是我们“干净”的主信号所在的位置！现在，有了这个频率，以及我们的 ESPRIT 估计的和频率，我们可以找到差频——这是次级信号的频率。

但是，由于各种原因，您的 1 Hz 分辨率不太可能发生。事实上，我现在有点懒得做数学，但我认为你观察的时间带宽乘积不允许这样做。此外，上述考虑忽略了二次信号中实际存在多少噪声功率以及在整个信号中还会看到多少附加噪声的任何方面。我的猜测是，您观察中的加性噪声​​将与乘性噪声处于同一数量级，从而使光谱中心的估计变得不那么清晰。$\times$

此外，不相关的乘法噪声通常是一种粗略的简化——事实上，这根本不是有源调制器的工作方式。

因此，实际上，在您尝试构建一个可以满足您需求的系统之前，请尝试根据对噪声和信号功率以及噪声带宽的估计来反驳您在数学上完全可以做到这一点的说法。如果反驳这种可能性很困难，或者你得到了证明它应该是可能的，那么就去实现。如果您发现 1 Hz 分辨率是不可能的证据，请不要浪费时间实施这样的系统。某些现象不可能以特定的确定性观察到，这是很自然的，这是数字通信工程师必须经历的核心认识之一。