我试图说服自己可以通过两个 1D 过滤器实现可分离的 2D 过滤器。所以，我以下面的 Sobel 滤波器为例：

$1/8\begin{bmatrix}-1&0&1\\-2&0&2\\-1&0&1\end{bmatrix}$

基于Szeliski

这可以分为：

$1/2\begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}$和$1/2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$

考虑如下所示的图像：

$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$

让我们首先执行一个正常的 2D 卷积，其中包括：

1）水平和垂直翻转内核（即首先交换第一行和最后一行，然后交换第一列和最后一列）。

2）在图像上应用翻转内核（假设边界为零填充）。

3) 通过将值除以 8 来归一化值。

这会产生输出：

$\begin{bmatrix}-1.125&-0.75&1.125\\-2.5&-1&2.5\\-2.625&-0.75&2.625\end{bmatrix}$

现在我们可以尝试应用一维过滤器：

1）行向量表示的一维滤波器被翻转（列互换）。

2）翻转过滤器应用于整个图像。

3）将列向量表示的一维滤波器翻转（行互换）。

4) 翻转滤波器应用于第一个 1D 卷积的结果。

5) 这些值通过将它们除以 4 来归一化。

这会产生输出：

$\begin{bmatrix}1.25&0.5&-1.25\\1.5&0&-1.5\\-1.25&-0.5&1.25\end{bmatrix}$

这两种结果是不同的。错误是什么以及如何正确执行这些操作？