在问我的问题之前，让我介绍一下背景：

对于在存在 AWGN 的情况下已被广泛研究的基于能量检测的频谱感知，最佳检测阈值计算为：

$$\lambda = 2~\sigma^2_\omega ~ \sqrt{N}~ (Q^{-1}(P_{fa}) + \sqrt{N})~~~~[1]$$

在哪里$\sigma^2_\omega$是噪声方差，并且$P_{fa}$是设计误报率（误报概率）。

检测算法的工作原理如下：

我们采取间隔$N$接收信号的样本$x[n] = k~s[n] + \omega[n]$， 在哪里$k = 1$如果感兴趣的信号存在并且$k = 0$除此以外。这里既$s[n]$和$\omega[n]$来自零均值高斯广义平稳过程。

接收到的能量为$\Lambda = \sum_{n = 0}^{N-1} |x[n]|^2$， 和$\Lambda$遵循一个$\chi^2$分配。

现在，关于在所考虑的时间间隔内是否存在感兴趣的信号，假设$k = 1$如果$\Lambda > \lambda$， 和$k = 0$除此以外。

当然，等式 [1] 在实际场景中并不是最优的，因为 AWGN 只是一个在现实生活中不可能的模型。但是，让我们将其视为宽带噪声（几乎不相关的噪声）的良好近似值。在对这种噪声应用 LTI 通带滤波器后，我将获得高斯彩色噪声（不再是宽带），因此不相关的样本不再是一个很好的近似值。因此，关于分布$\Lambda$，由于在$x[n]$过滤后。

我的问题是： 假设检测阈值是否仍然合理$\lambda$与噪声方差成线性比例（在通带滤波器之后）？

我在这方面的结果：我正在研究的声学信号的实际应用表明两者之间存在非线性关系$\lambda$和噪声方差，一旦确定了误报概率。

我的意思是，我固定一个阈值，然后在没有感兴趣信号的情况下运行应用程序，经过长时间的运行，我测量误报率。通过增加噪声功率，例如 10 dB，然后对阈值执行相同操作，我获得了与之前运行完全不同的误报率。但是，除了两者之间的非线性关系之外，我没有看到这种行为的适当理由$\lambda$和噪声方差。在这种情况下，我无法解释为什么会这样。

我将手机（其麦克风）用作接收器，并将扬声器用作发射器。

我应该凭经验确定这种非线性关系是什么，还是在这方面有什么理论结果可以使用？