在一篇旧论文“A New Approach to Geometry of Range Difference Location”中，有一个数学推导不包括任何提及与潜在问题的关系。在该问题中，有 3 个接收器（在、和处）和一个位于未知位置的发射器。我们还知道每对接收器之间的距离差（根据到达时间差计算）（）。$(x_1, y_1)$$(x_2, y_2)$$(x_3, y_3)$$(x_0, y_0)$$\Delta_mn = r_n - r_m$

推导首先将每个接收器到未知发射器位置的距离（范围）写入为：

到现在为止还挺好。但是，下一步只说“那么， ”$r_j^2 - r_i^2 = \Delta_{ij} (r_i + r_j)$

作者继续展示了更多的操纵，以达到他试图展示的观点。

似乎您可以将“平方差”分解应用于以获得（其中正是），但我不明白是的含义。也就是说，为什么从发射器到两个接收器的距离平方差与从发射器到两个接收器的距离之和有关（除了“因为我们碰巧减去了两个东西，然后找到一个恰好包含一个我们知道的术语）？有人对此有任何见解吗？也许是一种在图表中使用某种三角形定理来解释这一点的方法？$r_j^2 - r_i^2$$(r_j-r_i)(r_j+r_i)$$r_j - r_i$$\Delta_{ij}$$r_j^2 - r_i^2 = \Delta_{ij} (r_i + r_j)$