它是一个在复平面单位圆上永远旋转的复指数：

$$e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t).$$

您可以将傅里叶变换视为计算与每个频率的复指数之间的相关性，比较它们的相似程度。像这样的复指数具有很好的质量，它们可以通过将它们乘以单位幅度的复数（恒定的复指数）来进行时移。如果特定频率处的傅立叶变换结果是非实数复数，则可以将该频率的复指数乘以该复数以使其随时间移动，从而使与的相关性最大化。$f(t)$$f(t)$

如果您不喜欢考虑虚数、复数和函数，您也可以将 FT 中的复指数视为将正弦波和余弦波（相同频率）混合为单个函数的简写这需要更少的粉笔在黑板上写字。

无论是傅里叶变换还是拉普拉斯变换还是Z变换等，指数都是线性和时不变（LTI）算子的特征函数。如果“时间”的指数函数进入 LTI，则会出现类似它的指数函数（但按特征值缩放）。FT 所做的是将一般函数分解为这些指数的总和。通过查看傅里叶逆变换可以看出这一点。

傅里叶变换：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(t)e^{i\omega t} dt\\ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$$

将函数转换为调和函数的积分。您可以将这些视为正弦和余弦，因为。傅里叶变换作为傅里叶级数的连续形式，可将任何周期信号转换为其他实周期（谐波）信号的总和：$e^{i\theta} = cos(\theta) + i \sin(\theta)$

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$$

在傅里叶变换中，您可以认为系数和会覆盖连续函数的值。为了进一步进行比较，该系列有一个复杂的版本：$a_n$$b_n$

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{in\omega t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \cos(n \omega t) + b_n i \sin(n\omega t)$$