它实际上没有失真，它以足够高的速率进行采样。愚弄你的是采样点之间绘制的直线，它会给你波形的错误印象。它显示了信号的线性插值。它并不代表信号的实际外观。采样信号仅存在于采样点处，要将其转换为也存在于采样点之间的连续模拟表示，您应该使用 sinc 插值，将带宽限制为采样率的一半。

实际要求是以大于两倍的带宽进行采样，而不是以等于它的速率...

所以只有你的 80Hz 相同的设置实际上符合要求，因为 60Hz 的情况通常是模棱两可的，考虑如果你是采样 sin (2PiFt)，那么你会得到一条零幅度的平线......并改变 sin 之间的角度和 cos 只会产生一个幅度可变的波形，这不是原始波所做的。

你是通过连接点来填补空白，而不是通过低传递脉冲流，这是行不通的，所有这些尖锐的尖峰都代表了超出带宽限制的能量方式。

重建过滤器是魔法发生的地方。

没有混叠，因为𝑓 = 30 Hz 小于或等于折叠频率，分别为 30 Hz 和 40 Hz。

是和不是。以 80Hz 采样时没有明显的混叠，因为生成的信号具有 30Hz 和 50Hz 的频率分量。只要您考虑到 50Hz 信号，结果就很明确。

以 60Hz 采样时会出现混叠，因为以 60Hz 采样的 30Hz 信号会转换为30Hz 的两个信号，而您无法知道哪个是哪个。这就是为什么香农/奈奎斯特采样定理说您需要在信号带宽的两倍以上进行采样。

为什么以 80 Hz 的速率进行采样会导致这种“失真”的余弦信号，尽管它高于 Nyquist 速率？（我知道如果我们的频率高于 80 Hz，信号看起来会更好。）

因为您没有正确重建信号。香农/奈奎斯特定理并不是说采样的结果看起来不好笑，它说当你完成采样时，你将有足够的信息来重建信号。

您需要通过一个通过 30Hz 并阻止 50Hz 的重建滤波器运行该采样信号——该滤波器的输出将是纯 30Hz 音调，直至滤波器阻止 50Hz。

记得我在 1970 年的信号处理讲座中，我们...

关键是用于重构信号的滤波器。让我们首先进行理论，以理想地以 2 倍的频率对完美的正弦波进行采样，并使用理想的低通滤波器进行滤波。

1. 样本无限薄 - 它们是由时间 t 分隔的 delta 函数。

2. 该滤波器是一个理想的低通滤波器，在通过频率处具有无限斜率 - 响应垂直下降。

3. 如果您将单个 delta 函数脉冲通过这样一个理想的滤波器，您会得到一个 sin(x)/x 响应，其值高于和低于 x 轴。在轴交叉点 t、2t、3t、4t 等处响应为零。响应在 -infinity 处开始，在 0 处达到峰值并继续到 +infinity。它延迟了由滤波器的截止频率设定的时间，该时间等于脉冲之间的时间。

4. 如果您通过这样的低通滤波器放置一个按时间 t 分隔的 delta 函数流，您将获得每个脉冲的 sin(x)/x 响应。对于时间 = nt 时的脉冲 n，每隔一个脉冲具有零响应。因此没有混叠——每个脉冲的峰值（或采样值）输出与所有其他脉冲的输出完全分离。

5. 每个脉冲的输出是 sin(x)/x 曲线。添加所有脉冲的所有 sin(x)/x 曲线可以准确地重建信号。

6. 单个脉冲的输出从 -infinity 延伸到 +infinity

现在到现实世界...

这样的脉冲是不可能产生的。

这样的过滤器是不可能创建的，尤其是因为它的响应可以追溯到负无穷大。滤波器必须有一些斜率（如此多的 dB/倍频程）并且它没有完美的 sin(x)/x 输出响应。斜率越小，离 sin(x)/x 越远，混叠越多。

因此，在现实世界中，任何采样都会使信号失真，因为使用了不完美的脉冲和用于重建信号的不完美滤波器。最好的结果是通过您可以创建的最窄脉冲和您可以创建的最陡峭的下降来获得的。

以大于 2x 的频率进行采样可以提高质量，因为脉冲之间的间隙更小，并且由于没有来自滤波器的 sin(x)/x 输出响应而引入的误差变得更小。

请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem上的Nyquist-Shannon 采样定理，它显示了 sin(x)/x 曲线及其零交叉点。

此外，尝试使用平滑曲线将您的点连接到图表中 - 您将获得更好的表示。

最后，很明显，如果采样频率恰好是正弦波频率的 2 倍，那么每个采样都将位于正弦波中的同一点，并且所有样本都将相等。这有点例外，我不记得它是如何解决的——我认为是 sin(x)/x 重新创建了原始正弦波，即使所有采样点的值都相同。快速检查电子表格中的 100 个样本点可以解决它...