TL;DR： 子空间是整个信号空间的低维线性部分，预计将包含（或接近）大部分可观察和有用的信号或其转换，以及允许我们计算有趣的附加工具数据上的东西

我们得到一组数据。为了更容易地操作它们，通常将它们嵌入或表示为适应良好的数学结构（来自代数或几何中的大量结构），以执行操作、证明事物、开发算法等。例如在信道编码中，组或环结构可以更好地适应。在称为数学形态学的领域中，人们使用晶格。

在这里，对于标准信号或图像，我们通常假设一个线性结构：信号可以被加权，添加：。这是线性系统的基础，如传统的加窗、过滤（卷积）、微分等。因此，选择的数学结构在于向量空间。配备工具的向量空间：点积（可用于比较数据）、范数（用于测量距离）。这些工具帮助我们计算。实际上，能量最小化和线性度密切相关。$\alpha x+ \beta y$

然后，个样本的数据自然地存在于维的经典线性空间中。它很大（想想百万像素的图像）。它包含大量其他“无趣”的数据：任何维“随机”向量。它们中的大多数是并且永远不会被观察到，没有意义等。$N$$N$$N$

相对于大空间，您可以记录的合理数量的信号（直至变化）非常小。更重要的是，我们经常对结构化信息感兴趣。因此，如果您减去噪声影响、不重要的变化，有用信号的比例在整个潜在信号空间中非常非常小。

一个非常有用的假设（启发式，以帮助发现）是那些有趣的信号靠近在一起，或者至少沿着“有意义”的空间区域。一个例子：假设一些外星智能除了非常精确的狗探测器之外没有其他探测系统。他们将在整个太阳系中几乎一无所获，除了许多点位于一个模糊地看起来像一个球体的东西上，有很大的空白空间（海洋），有时非常集中（城市地区）。并且点云围绕一个中心移动，具有恒定的周期性，并且会自行旋转。那些外星人发现了什么！

无论如何，看起来部分球体的点云是可以解释的……也许是一颗行星？

因此，我们的狗点云可能是完全 3D 的，但它们集中在 2D 表面（较低维度）上，看起来相对规则（高度）且平滑：大多数狗生活在中等高度。

这些空间的平滑低维部分有时被称为平滑流形或变体。它们的结构和运算符允许计算事物。例如：距离、分布等。当沿着地球表面（在球形 2D 坐标中）计算时，狗间距离比使用标准 3D 规范直接通过行星计算更有意义！但这仍然很难处理。让我们再简化一下。

再靠近一点，狗点几乎位于接近平坦的表面上：国家，甚至大陆。这些平面是线性（或仿射）子空间的一部分。不过，您现在可以更轻松地计算狗之间的距离，并设计一种让您变得富有的狗匹配算法。

故事继续一点。有时，自然数据不会直接围绕清晰的结构组装。揭示这种固有结构是 DSP 的核心。为了帮助我们朝这个方向发展，我们可以借助数据转换来更好地集中它们（傅立叶、时频、小波）、过滤。

如果我们找到合适的子空间，大多数算法会变得更简单、更易于处理，等等：自适应滤波、去噪、匹配。

[附加] 一个典型的用途如下：通过精心选择的正交变换可以更好地集中信号。同时，零均值随机高斯噪声在正交变换下仍然是高斯噪声。通常，协方差矩阵可以对角化。如果按降序对特征值进行排序，最小的往往会变平（它们对应于噪声），而最高的或多或少对应于信号。因此，通过对特征值进行阈值处理，可以消除噪声。

子空间是一个线性代数概念。我能想到的最有代表性的例子就是XY平面与XYZ空间的关系，前者是后者的子空间。平面上的任何向量也位于空间中。空间中的每个向量在子空间上都有一个正交投影。因此，您的子空间中的一组向量只能使用线性组合到达该子空间中的向量。对于平面外的向量，平面内向量的线性组合只能如此接近。

子空间只是包含在更大向量空间中的向量空间。

将随机信号空间分成两个统计上不相关的子空间，一个期望的信号空间和一个噪声空间，产生彼此正交的特征向量。

这些子空间的这种正交性特性用于将噪声与期望的信号分离，并从可用数据中获得更好的频谱估计。