您可能对真正的离散变换感兴趣。这是长度为 6 的变换的基函数。逆变换是这些基函数的加权和，而正向变换计算出给定时域序列的权重。通过逆变换重建时域序列是精确的。离散变换实际上并不涉及下面显示的连续函数，而是它们在整数时间索引处的样本（此处为 0、1、2、3、4、5）。

作为对那些喜欢看方程的人的服务，离散哈特利变换 和离散傅里叶变换的，其中定义为：$H_k$$X_k$$x_k$$k = 0, \dots, N-1$

$$H_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \left[ \cos \left( \frac{2 \pi}{N} n k \right) + \sin \left( \frac{2 \pi}{N} n k \right) \right]\\ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \left[ \cos \left( \frac{2 \pi}{N} n k \right) - i \sin \left( \frac{2 \pi}{N} n k \right) \right],$$

其中是虚数单位。$i$

哈特利

图 1. Hartley 变换基函数是谐波正弦曲线。每个基函数都是正弦和余弦的和。

谐波意味着每个频率是最低非零频率的整数倍。一些正弦曲线的频率大于奈奎斯特频率。

或作为离散序列：[1, 1, 1, 1, 1, 1]（黄色），[1, 1.366, 0.366, -1, -1.366, -0.366]（黑色），[1, 0.366, -1.366, 1, 0.366, -1.366]（绿色），依此类推。

图 2. Hartley 基函数，由离散基函数通过完美带限插值构造，假设序列永远重复。离散哈特利变换也可以直接用这些函数表示，颜色与图 1 相同。

除了频率 0 和 π 的特殊情况外，混叠的 Hartley 基函数以成对的相隔 90 度的谐波等频率正弦曲线出现，就像下面的真实离散傅立叶变换一样。除了缩放和相移（每对有一个缩放常数和一个相移常数）之外，基函数与实际离散傅里叶变换的基函数相同。

傅立叶

图 3. 真正的离散傅立叶变换基函数是谐波余弦和正弦，这里的颜色与图 2 中等效的缩放和相移 Hartley 基函数相同。

对于频率 0 和 π，没有正弦基函数，因为它们的样本将是零值的，并且永远不会对逆电车形式中的加权和做出贡献。与图 1 的 Hartley 变换公式不同，离散傅里叶变换基函数保持在 Nyquist 频率限制内。

哈特利的人气

快速哈特利变换算法于 1984 年问世，但自那以后它的流行度并没有显着增加。

图 4. Google Ngram of Hartley transform计算了多年来发展的文学中词对的相对频率。

如果您确实了解傅立叶变换，那么您很幸运；我仍然没有（警告购买者）。

假设某个经典符号约定（即与内核，约定的改变不会改变属性），对于真实信号，离散哈特利变换（DHT）是离散傅里叶变换 (DFT) 的实部和虚部之和。换句话说，它对应于函数：。$e^{-ift}$$e^{ift}$$a+ib \mapsto a+b$

它是纯实的，它是对合，所以它是它自己的逆。它似乎仍在用于某些编码、加密或水印应用程序，在这些应用程序中，实际变换的使用可以更简单，同时保持一些 DFT 的良好特性（例如关于卷积）。

虽然通常发现它不比 FFT 快（参见MATLAB 中的快速哈特利变换实现），但它可以嵌入到相同的参数族中（新参数离散傅里叶和哈特利变换，以及快速计算算法，2011）。对于某些特定的硬件、数据或数据大小，它可能仍然是有益的。回顾过去，它已被Henrique (Rico) Malvar通过快速 Hartley 变换用于离散余弦变换的快速计算。我怀疑 Hartley 变换可能对重叠正交变换(LOT)的发展提供了一些见解。

虽然被遗忘了，但它可能有一天会再次上升。

你是对的，这不是很常见。有许多与傅立叶相关的变换，其中大多数都有一个小众应用。

它的优点是没有虚数，正向和逆变换是一样的。但缺点是对于实际问题（例如调制），您将需要对附加项进行求和，使其更加麻烦。

这 是一篇相对非数学的文章，描述了两种变换的历史，由快速 Hartley 变换算法的作者撰写。也许这将有助于为您阐明这一点！

您要求在信号处理实现的上下文中理解这一点，这需要基于编程的解释。曾经的两个世界。数学必须在纸上工作，在阅读思想时，编程实现必须在世界上工作。

因为看了1988 Byte的文章，刚才搜了一下，发现[一篇提到它的文章][1]，对比了FHT和FFT（Byte文章也是这样）。快速傅里叶变换在今天被广泛使用，但快速哈特利变换在实现（速度）方面提供了好处，而且很可能仍然如此，前提是芯片不是为了加速其中的一种变换而制造的。

在信号处理中，速度与质量至关重要。两者都是应用于该领域的实现。有许多可用的转换，您可以实现自己的转换。在这样做的过程中，超越你头脑的东西会验证你头脑中的东西是否适用于这个世界。

数学家对计算速度的概念毫无用处，因此他们似乎奇怪地不适合实现算法，尽管编程更简单、更具体，并且很大程度上基于包括符号化在内的数学。

程序员测试数学家头脑中的公式。不要犹豫，像你一样问，尤其是在这里。如果您实现了傅立叶变换，您就会以数学家无法在纸上证明的方式理解它。（提示[原理] [2]）。

除了编程和实现速度之外，提到的第三个因素是硬件加速。根据您编写实现的系统，可能有也可能没有硬件加速支持最著名的转换，而不是所有其他转换或您发明的转换。

今天必须去除这个因素，才能合理地比较这两种变换。[1]：https ://m.eet.com/media/1175816/f-scott.pdf [2]：https ://en.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica