2B的费率是独家的吗？

是的。采样定理指出，信号的频带必须限制在采样率的一半。这意味着奈奎斯特频率处的能量必须为零。在实践中，您需要在最高可用频率和奈奎斯特频率之间保持健康的余量。总有一些“过渡带”，您需要将能量从“有用”变为“无用”

我看不出我们怎么能从中重建一个 5 Hz 的波

您可以使用香农惠特克插值。https://en.wikipedia.org/wiki/Whittaker%E2%80%93Shannon_interpolation_formula它在你眼中的外观并不重要，重要的是所有信息都在那里，它就是。

当理论只说 2x 时，为什么需要 4x 才能到达这里？

不需要4倍。您需要使用定量的数学标准来确定抽样是否“好”。目视检查在这里没有帮助。最直接的方法是：如果您将此序列发送到 D/A 转换器并将输出与原始输入进行比较，这两个信号有何不同？这实际上就是香农插值的作用：它模仿具有无限陡峭抗混叠滤波器的 DAC 转换器。

把你的正弦波放在$f = 5\mathrm{kHz}$; 。如果你在采样，你会得到一个结果 *。由于三角恒等式，您无法区分和处的正弦波。由于三角恒等式，除非您知道起始相位（您从不知道），否则您无法区分和。$x(t) = \sin 2 \pi f\, t$$F_s$$y[k] = \sin \frac{2 \pi f}{F_s} k$$\sin \theta = \sin (2\pi + \theta)$$f$$f \pm nF_s$$\sin \theta = -\sin (\pi + \theta)$$f$$f = \pm \frac{n}{2}F_s$

这无法分辨出别名的来源。

此外，当您将信号从采样时域重构为连续时间时，正弦波中的那些模糊性会在频谱中显示为实际信号。采样你的波的情况下，你在 4、6、9、11、14、16 等处有真正诚实的正弦波。这些建设性或限制性地干涉，使你看到的奇怪形状。$5\mathrm{kHz}$$4\mathrm{kHz}$

如果您以采样并重建，您会看到相同的频率，因为混叠。$6\mathrm{kHz}$

如果您采用重建的正弦波并通过低通滤波器运行它，该滤波器将所有内容都传递到并包括并且没有任何东西等于或高于，那么你' d 得到一个完美的重建。如果您对波进行采样，对其进行采样并对其进行重构，那么您也可以获得完美的重构，但现在您需要一个过滤器，它可以通过包括和或以上没有。$4\mathrm{kHz}$$4\mathrm{kHz}$$6\mathrm{kHz}$$4.99\mathrm{kHz}$$4.99\mathrm{kHz}$$5.01\mathrm{kHz}$

困难的出现是因为您使用的过滤器越窄，物理上实现的难度就越大，您需要的延迟也就越多。 理论上，您可以从的信号开始，对于任何的采样信号都可以重建——但越接近零，事情就越难。$f = F_s - \epsilon$$\epsilon > 0$$\epsilon$

在实践中，您希望使用甚至更少——并且有很好的可靠论据，为什么对于发烧友信号，您希望它少四到八倍。诸如光盘之类的东西使用的比率比这要少——但它们需要做很多花哨的过滤才能使其正常工作，而且有些发烧友对 44 奇数 kHz 的 CD 采样率不满意。$f < F_s/2$

* 请注意，我故意避免使用 DSP 中最流行的采样模型，其中采样时间信号乘以一系列狄拉克三角函数。这样我就可以将讨论纳入一个至少有些严谨的答复中。如果您真正深入研究 DSP，请相信我，最终 Dirac delta 模型会更好——一开始只是需要更多的工作来环绕您的大脑。

没错，在现实世界中，2x 不足以准确捕捉给定频率的声音。在您的图表中，只有第一个听起来像正弦波。当您接近奈奎斯特频率时，您将创建一个类似警报器的声音，当您达到确切的频率时，您将记录一个正弦波的脉冲波近似值，其幅度会根据您的相位而变化。除非您要引入隐藏数据，否则没有可以采用一系列零并从中产生正弦波的重建 DAC。

即使在 4x 下，您也只重建了一个三角波，如果您改变相位，您会得到一些音调失真。在 DAC 上使用余弦或三次插值器，您需要至少 6 倍的采样率才能准确地重建正弦波，从而无需假设原始样本的作用。Nyquist 仅适用于非常不真实的示例案例，它对音频工程师实际上并没有用处。

“奈奎斯特-香农采样定理——绝对和肯定地——并没有说，你可以设计你的系统以奈奎斯特速率正常运行，至少没有任何合理的成功机会。”

https://www.wescottdesign.com/articles/Sampling/sampling.pdf