信息处理 - 线性卷积和 N 点 DFT 的比较 - 吾爱随笔录

线性卷积和 N 点 DFT 的比较

信息处理离散信号傅里叶变换自由度卷积时频

2022-01-31 06:05:10

我目前正在研究离散傅里叶变换，对此我有疑问。

考虑两个序列

{1, 2, 3, 4}

$\left\{1,2,3,4\right\}$ 和

{0, 1, 0, 0}

$\left\{0,1,0,0\right\}$ 当我对它们进行线性卷积时，我得到了这个

{0, 1, 2, 3, 4, 0, 0}

$\left\{0,1,2,3,4,0,0\right\}$

但是，如果我采用 4 点 DFT $\{1,2,3,4\}$ 和 $\{0,1,0,0\}$ 然后将它们相乘，然后如果我对结果进行 IDFT，我会得到这个

{4, 1, 2, 3}

$\{4, 1, 2, 3\}$

D F T (1, 2, 3, 4) = {10, - 2 + 2 j, - 2, - 2 - 2 j}

$\mathrm{DFT}({1,2,3,4}) = \{10, -2+2j, -2, -2-2j\}$

D F T (0, 1, 0, 0) = {1, - j, - 1, j}

$\mathrm{DFT}({0,1,0,0}) = \{1, -j, -1, j\}$

元素明智的产品

{10, 2 + 2 j, 2, 2 - 2 j}

$\{10, 2+2j, 2, 2-2j\}$

I D F T (10, 2 + 2 j, 2, 2 - 2 j) = {4, 1, 2, 3}

$\mathrm{IDFT}({10, 2+2j, 2, 2-2j}) = \{4, 1, 2, 3\}$

我知道这里的线性卷积输出至少需要 7 个元素，我正在计算 4 点 DFT/IDFT，这当然是不够的。

但是我应该从中得出什么推论。IDFT 的结果看起来有点像循环卷积，但它并不完全是循环卷积之后得到的结果。

1个回答

结果 {4,1,2,3} 是 {1,2,3,4} 和 {0,1,0,0} 的循环卷积，您可以通过 DFT 乘积的逆 DFT 正确得到的两个序列。

我们可以通过矩阵乘法进行循环卷积来检查这一点，如下所示：

$x(n) = [1,2,3,4]$

$y(n) = [0,1,0,0]$

解决循环卷积 $x(n) (*) y(n)$ , （我使用的地方 $(*)$ 表示循环卷积）我们可以用乘法来做到这一点 $Xy$ ，在哪里 $X$ 是由重复形成的矩阵 $x(n)$ 在每一列中，n = 0,1,2,3 和 $y$ 是 $y(n)$ 作为列向量：

X y = [\begin{matrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [4, 1, 2, 3]

$Xy =\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 &2 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = [4,1,2,3]$

确认关系：

x [n] (*) y [n] = I F F T (F F T (a) F F T (b))

$x[n](*)y[n] = IFFT(FFT(a)FFT(b))$

哪里（ $*$ ) 算子在这里是专门的循环卷积。并且两个 FFT 结果的乘积是逐个元素的乘积。

还要补充一点：相比之下，如果您在乘法之前将 FFT 结果之一共轭，则结果是两个序列的循环互相关！

X C O R R = I F F T (F F T (a) F F T (b)^{*})

$XCORR = IFFT(FFT(a)FFT(b)^*)$

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