我在附录之一的 Charles Therrien 的“离散随机信号和统计信号处理”中找到了以下内容。

说你有这个功能$Q(a)$你希望最小化这样$C(a)=0$， 在哪里$C(a)$可能是复杂的价值和$a$可能是一个复向量。该约束实际上代表了两个实值约束。

$$C_r(a)=0,\qquad C_i(a)=0,$$ 在哪里$C_r(a)$和$C_i(a)$表示实部和虚部。拉格朗日量可以写成： $$\mathcal{L}=Q(a) +\mu_1C_r(a)+\mu_2C_i(a),$$ 在哪里$\mu_1$和$\mu_2$是真正有价值的。

这也可以使用单个复杂参数更紧凑地编写$\lambda=\lambda_r+j\lambda_i$作为

$$\mathcal{L}=Q(a) +\lambda C(a)+\lambda ^*C^*(a)$$ 在哪里$\lambda^*$ 和$C^*(a)$表示量的复共轭。这样做的原因是 $$\lambda C(a)+\lambda ^*C^*(a)=2Re[\lambda C(a)]=2\lambda_rC_r(a)-2\lambda_iC_i(a)$$ 并让$\mu_1=2\lambda_r$和$\mu_2=-2\lambda_i$, 那么这两个拉格朗日量被视为是等价的。

注意 - 要将梯度应用于关于复参数的实值函数，您还应该熟悉 Brandwood “复梯度算子及其在自适应阵列理论中的应用” IEE Proceedings 130(1) 11-16, Feb, 1983 . 这本质上是对待变量$a$和$a^*$作为两个单独的变量，您只需将导数 wrt 带到其中一个即可执行最小化。

任何优化
$\qquad$分钟$f(z), \ z$一个向量$n$复变量
等价于
$\qquad$分钟$f( x, y ), \ z = x + i \, y: 2n$实变量。
复杂的形式通常比$2n$真实 - 节省思想和墨水。但在这里，真正的拉格朗日
$\qquad f( x, y ) + \lambda_{re} \, \text{constraint}_{re} + \lambda_{im} \, \text{constraint}_{im}$
更简单（对我来说）。

另请参阅 math.stack 上的 lagrangian -multipliers-in-complex-optimization 。