窗口设计很容易。从理想的零相位频率响应开始：

$$\frac{\omega}{2\pi} + \frac{1}{2}$$

它的傅里叶逆变换给出了理想的脉冲响应：

$$\int^\pi_{-\pi}\left(\frac{\omega}{2\pi}+\frac{1}{2}\right)e^{i\omega k}d\omega = \frac{\sin(\pi k)}{k} + i\left(\frac{\sin(\pi k)}{\pi k^2} - \frac{\cos(\pi k)}{k}\right).$$

类似于$\text{sinc}$函数,实部$\frac{\sin(\pi k)}{k}$在处有一个非法除以零$k=0$其中极限值$\pi$应改为使用。对于其他整数$k$，实部为零。虚部也有类似的问题$k=0$，其极限为 0。取自 Rick 的答案，整数$k$,$\sin(\pi k)$为零并且$\cos(\pi k)$是 +1 或 -1。这简化了整数时的理想脉冲响应$k$到：

$$\begin{cases}\pi&\text{if }k=0, \\i\frac{-(-1)^k}{k}&\text{otherwise.}\end{cases}$$

如果滤波器实现为纯实数和纯虚数滤波器的总和，则纯实数滤波器只需将输入乘以常数即可。脉冲响应的虚部是反对称的，这可以节省成本。

要继续窗口设计，请选择一个窗口函数及其长度（等于滤波器抽头的数量）并将理想脉冲响应乘以它。这给出了滤波器的脉冲响应。窗口函数应该集中在$k = 0$.

对于一般的滤波器设计，最小二乘法通常是一个好的开始。Olli Niemitalo 建议的窗口方法也很有用，但它不太灵活，因为您无法定义“不关心区域”（这对于处理所需响应中的不连续性很重要）。此外，使用最小二乘法，您可以添加一个加权函数，将某些频率区域标记为比其他频率区域更重要，从而使这些区域的近似误差更小。最后，使用最小二乘法，您不需要解析计算逆 DTFT，这在实践中并不总是可行的。

用于最小二乘设计（无加权）的简单 Matlab/Octave 脚本如下所示（注意我假设线性期望相位响应）：

N = 101; % 选择一些过滤器长度
w = 2*pi*linspace(-.45,.45,200); 不关心区域的频率网格百分比
d = (.5+w/(2*pi)).*exp(-1i*w*(N-1)/2); % 期望响应（线性相位）
A = exp(-1i*w(:)*(0:N-1)); % 超定系统矩阵 A*h=d
h = A\d(:); % 最小二乘解
% 绘图设计的频率响应
wp = linspace(-pi,pi,512);
H = 频率 (h,1,wp);
绘图（wp/2/pi，abs（H））；轴（[-.5,.5,0,1]）

您所拥有的基本上是采样微分器的幅度响应。

$y(t|t=nT) = \frac {d}{dt} x(t)$

这是一个基本的一阶高通滤波器，斜率为 +6dB/倍频程。

最简单的可能近似是一个零滤波器。

$y[n] = a_0 * (x[n] - x[n-1])$

您可以为其添加一个极点以获得更好的低频匹配，或者您可以使用像上面提到的 Olli Niemitalo 之类的窗口 FIR 设计（正确@-attribution 的降价语法是什么？）。

https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/One_Zero.html

找出时域中锯齿波的傅里叶级数是一个常见的练习。同一系列将是频域中锯齿的时域脉冲响应。因为你想要奇对称，所以都是虚构的（但如果你想要一个真实的结果，那就是共轭对称的）。