正如您所说，在学术意义上，在不允许尺寸进入房间的情况下，卡尔曼滤波器会最小化状态向量的预期 MSE。

你提到了维度，我想“哦，这是一个难题”。但是对于正确构造的卡尔曼滤波器*，状态是不相关的，即$\mathrm E \left \lbrace x_k \cdot x_n \right \rbrace \ 0\ \forall \ n \ne k$. 这意味着对于任何加权向量$\mathbf w$，卡尔曼最小化$\mathbf w^T x$. 所以你可以为元素选择任何值$\mathbf w$使尺寸得以解决，由此产生的误差将最小化。

回答您的直接问题：卡尔曼在最小化每个状态的预期误差的意义上是最优的。碰巧的是，在这个过程中（因为它也会对错误进行去相关），它会最小化任何全局加权状态总和，而不管您选择的权重如何。

* 在这种情况下，“正确构建”意味着卡尔曼设计的模型实际上与您正在估计其状态的系统匹配**。

** 这在实践中真的从未发生过。需要做很多工作才能足够接近，以便您可以忽略差异。在实际实践中，很少有人这样做，但更常见的情况是，他们要么使用对系统动力学、过程和测量噪声的知情猜测来设计卡尔曼，然后迭代解决方案，要么设计一些鲁棒的卡尔曼变体，例如H-无穷大滤波器。

这是一个比我想象的更难回答的问题。这是 Anderson 和 Moore 的第 3 章第 49 页的声明，Optimal Filtering：

这里$x_0$是初始状态，并且$v_k$和$w_k$分别是测量噪声和过程噪声。