信息处理 - CWT 的平移不变性的重要性是什么？ - 吾爱随笔录

信息处理小波载重吨英担

2022-01-29 10:45:33

平移不变性是连续小波变换 (CWT) 具有但离散小波变换 (DWT) 不具有的特性。它表示信号的变化，即 $x(t)\rightarrow x(t-d)$ ，导致小波系数的偏移，即 $W_x(a,b)\rightarrow W_x(a,b-d)$ 无需其他修改。CWT 的平移不变性的重要性是什么？

2个回答

首先，平移不变性使得信号处理在某种程度上独立于记录的时间来源。术语“不变性”可能会引起争论，就像这里所做的那样：“翻译等价”和“翻译不变”之间有什么区别。相关概念称为旋转不变性、尺度不变性等。

解释时间起源的东西：假设您在不同的时区记录相同的信号，这允许产生“相同的结果”，例如相同的系数（转换）或相同的整体处理结果。有时，只需要一些基于系数的特征（如幅度）的不变性，有时只需要大致如此。

您还可以使用未抽取的离散小波、循环旋转等获得移位不变性。由于这有点过采样，这是开发双树或复杂离散小波背后的动机。您可以在我们的论文A Panorama on Multiscale Geometric Representations, Intertwining Spatial, Directional and Frequency Selectivity中查看第 2.3.4 节“平移不变小波”中的参考资料。

例如，如果您对信号执行一级“Haar”转换

[\dots 0 2 3 0 - 1 0 0 \dots]

$[\ldots \, 0 \,2\, 3\, 0\, -1\, 0\, 0\, \ldots]$ 和上

[\dots 0 0 2 3 0 - 1 0 \dots]

$[\ldots \, 0 \, 0 \,2\, 3\, 0\, -1\, 0\, \ldots]$ 您将获得详细系数（应用差异

[1 - 1])

$[1 \,-1])$ 每两个样本：

[\dots - 2 3 - 1 0 \dots]

$[\ldots \, -2 \,3\, -1\, 0\, \ldots]$ 和

[\dots 0 - 1 1 0 \dots]

$[\ldots \, 0 \,-1\, 1\, 0\, \ldots]$ 这不是彼此的转变。这可能会导致不同的结果，例如，如果您在 1 上选择阈值。

CWT 在特征意义上是翻译不变的：翻译模式会翻译其表示，但不会修改它。在系数意义上，它是平移等变的：移位信号 $\Leftrightarrow$ 转移表示。CWT在系数意义上不是不变的。我将坚持后一个定义。

翻译等变是一个基本而强大的先验。它是时频定位所必需的：瞬时频率、幅度和相位（如果样本移动而表示没有移动，我们还没有“定位”它）。傅立叶模量是不变的，但相位不是，相位也不是等变的。

Translations(/shifts) 可以是本地的也可以是全局的。等价于

全局移位，如改变磁带记录的开始/结束或修剪图像，需要保持除边界外的特征相同。傅里叶模数对全局位移是不变的，但它的相位不是，也不是等变的。
局部移位，如以不同顺序说出单词或在图像中移动苹果，希望保持特征相同但保持相对局部性。这些完全改变了傅立叶表示，尽管只有部分输入改变和类标签在几个方面相同。分类和描述符提取（例如边缘检测、测量瞬态）都不需要这种变化。

CWT 与两者等价（与时间分辨率内的局部偏移）。DWT 与两者都不等变：移位可以改变每个系数而不等于未移位。

最后：在这三者中，只有 CWT 可以扩展来构建不变量。这通过例如小波散射来完成。等方差也是抵抗翘曲变形稳定性的核心要素。这篇文章中描述的解释和优点。

可以从三个方面来讨论：

随着时间，sum(abs(Wx)**2, axis=0)：由 LP 求和确定 - 参见“能量分析”。在理想情况下（紧帧），它等于信号的。
沿频率，sum(abs(Wx)**2, axis=1)：由频域中的小波和离散化方案（每倍频程的小波数等）确定。对于每个小波，通过 Parseval 定理，类似于 LP 求和，可以通过将能量传递总结为单个数字来定义“传递函数曲线”。
total , sum(abs(Wx)**2): 积分 LP 求和

平移等方差意味着如果我们将信号移动 $c$ ，我们通过改变时间积分边界得到相同的功率 $c$ ：

\int_{t_{0}}^{t_{1}} | {CWT}_{x (t)} (λ, t) |^{2} d t = \int_{t_{0} + c}^{t_{1} + c} | {CWT}_{x (t - c)} (λ, t) |^{2} d t

$\int_{t_0}^{t_1} |\text{CWT}_{x(t)}(\lambda, t)|^2 dt = \int_{t_0 + c}^{t_1 + c} |\text{CWT}_{x(t - c)}(\lambda, t)|^2 dt$

时间移动对频率上的功率没有影响，所以我们保持不变。

两者都是正确的，但指的是不同的事物。形式上，这里的“等方差”是指输入的坐标变换等同地变换输出中的相同坐标：

f (x, τ (y), z) \Leftrightarrow Φ (x, τ (y), z)

$f(x, \tau(y), z) \Leftrightarrow \Phi(x, \tau(y), z)$

CWT 是

f (t - c) \Leftrightarrow W_{f} (λ, t - c)

$f(t - c) \Leftrightarrow W_f (\lambda, t - c)$

更一般地，等方差是在对称群作用下的交换性。

“不变性”是指群体行动下的同一性——即，

F (Φ (x, y, z)) = F (Φ (x, τ (y), z))

$F(\Phi(x, y, z)) = F(\Phi(x, \tau(y), z))$

在哪里 $F$ 是一个映射，并且 $\tau$ 集体行动。例如，一个空心球，移动后，它的所有描述符相对于自己的质心保持相同，例如到每个点的距离。可以为 CWT 进行类似的映射。

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