在关于谐波分析和时间/频率方法的讲座之后，我重新考虑了以连续时间定义的高斯核。
它是单峰和对称的，它的连续傅里叶变换是另一个高斯，因此是单峰和对称的（来自高斯的傅里叶变换不是高斯，但这是错误的！）：
作为过滤器或窗口，高斯确保其中心周围的权重单调衰减。频域中的解释类似：频率远离中心频率单调衰减。
这样的属性允许在时域和频域中进行简单的解释。
- 对于连续内核，是否存在单峰和对称窗口也具有单峰和对称幅度谱的通用表征（必要或充分条件）？
时域和频域中对称和单峰窗口的条件
信息处理
傅里叶变换
高斯
窗函数
证明
对称
2022-02-11 13:03:46
2个回答
这也只是部分答案。我将单模转换为无波纹，因为波纹本质上是极值点，我们只想有一个。
无波纹傅立叶变换（据我所知）转换为无限经常连续可微分的时域函数。此外，为了让傅里叶变换容易定义，函数要么衰减得非常快，要么应该有紧凑的支持。因此，候选函数将来自 Schwartz 函数空间。
单峰性进一步减少了候选者的数量，高斯是一个突出的例子。其他的是 Hermite 多项式，用高斯加权。通过 Hermite 函数的巧妙线性组合，您可以创建一个与高斯函数不同的单峰函数，并且仍然具有无波纹和对称傅里叶变换。
import scipy.special
%matplotlib inline
Fs = 100
t = np.arange(-10, 10, 1./Fs)
H = scipy.special.hermite
g = lambda t: (H(4)(t)+H(2)(t)+80*H(0)(t)) * np.exp(-t*t)
gauss = lambda t: np.exp(-t*t)
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(t, g(t))
plt.plot(t, 80*gauss(t))
plt.xlim(-4,4)
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(20*np.log10(abs(np.fft.fft(g(t), 7*len(t)))))
我相信频率的涟漪是由于有限的窗口和数字造成的。可能需要使用分析解决方案进行更多分析，例如来自 Mathematica。
所以，答案可能是：窗口需要是单模的并且源于 Schwartz 函数空间？
一个充分条件是，该分布由具有非负幅度权重的零均值高斯分布跨越。跨越空间仅包含对称和单峰分布，并且在傅里叶变换下是不变的。
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