我将从压缩的角度开始解释。有两种主要类型：无损压缩和有损压缩。噪声，至少是原始数据的发散或丢失，仅在有损压缩中出现。

当人们将原始数据视为“干净”的参考时，有损压缩会在允许的压缩比中增加一些与损失相关的（通常是模糊地增加）。

然而，从另一个角度来看很有趣，我从Filtering Random Noise from Deterministic Signals via Data Compression中借用，1995，BK Natarajan，我发现它很有影响力。

主要思想始于观察到噪声（具有随机性，缺乏可预测性）难以压缩，而结构化信号具有一定量的相关性，可以通过某种方式进行压缩。换句话说，当数据易于压缩时，它很可能是结构化的。

这导致 Natarajan 定义了 Occam 过滤器，这个名称与 W. of Ockham 和他的（所谓的）简约法则有关。从噪声数据开始，将其压缩到接近原始噪声功率的损失。如果压缩系统设计良好，这往往会（部分）从原始信号中去除一些噪声。令人震惊的是，有损压缩可以去噪，用一块石头杀死两只鸟（去噪和压缩）。例如，这可以在用于图像去噪和压缩的自适应小波阈值化，2000 中找到，其中可以使噪声限制自适应。

稀疏表示，例如上面的小波，以及其他变换，已经被发现，因为它可以有效地集中结构化信号的能量，并且可以散布或白化一些随机噪声。由于稀疏，图像的稀疏表示具有易于压缩和传播噪声的结构。获得稀疏表示的相同操作是压缩和去噪的良好预处理。

但是请注意，关于“压缩”的一些滥用。实际压缩包括量化、系数定位、熵编码等，仅产生少量大系数和许多零并不真正符合压缩条件。

最后，压缩和图像去噪之间的类比不适用于所有图像、所有类型和级别的噪声，但在标准情况下足够正确，可以将它们一起教授。

至于评论：

• 如果你有一个稀疏或可压缩的信号$x$（在某些表示$f$)，并添加不相关的噪声$n$到它，然后申请$f$在$x+n$本身不是去噪，因为要进行去噪，您需要决定或选择保留什么作为信号分量以及过滤什么作为噪声。但它通常提供：

  • 就（局部）幅度而言，它们之间有更清晰的“区别”，这通常简化了统计工具的使用，或者使它们更加稳健
  • 更好地访问信号或噪声属性，以参数化去噪

• 正交变换非常好，但正交性限制了它们稀疏表示信号的能力。过完全变换会导致噪声相关（双树小波分解中的噪声协方差属性），但由于信号系数更稀疏，（稀疏）信号系数和噪声的相对幅度（最佳）更有利。可以在例如上述参考或通过在小波域中对感兴趣的信号建模来去除相关噪声中找到具有例如冗余复小波的相关噪声白化的示例。

当然，以上很多假设信号是稀疏的，噪声不相关，并且您能够找到适当的表示，这在实践中并不明显。

以下是稀疏表示为何对去噪有用的两种解释：

1）您的字典（通常是小波或 2D-DCT 字典）很好地表示了您的干净图像，但噪声不是。这意味着在从噪声信号中计算稀疏表示时，您只会捕获干净的信号，而不是噪声。

2）强制表示向量稀疏（即只有几个非零元素），意味着您最终将阈值掉所有其他低能量噪声分量。

正如您所说，稀疏表示对于压缩非常有用。压缩只是保留相关信息，同时丢弃不相关的信息。去噪是关于保留信号的相关部分（适合您的模型或字典的部分），同时丢弃不相关的部分（噪声）。