“稀疏性是否有任何精确的，即数字的定义？ ”通过数字，我理解可计算的和实际上“可用的”。我的看法是：至少还没有达成共识，但仍有一些有价值的竞争者。第一个选项“只计算非零项”是精确的，但效率低下（对数值近似和噪声敏感，优化非常复杂）。第二个选项“信号的大多数元素为零或接近于零”相当不精确，无论是在“大多数”还是“接近”。

因此，“稀疏性的精确度量”仍然难以捉摸，没有更正式的方面。Hurley 和 Rickard，2009 年比较稀疏性度量，IEEE Transactions on Information Theory中最近一次尝试定义稀疏性。

他们的想法是提供一组好的稀疏度量应该满足的公理；例如，一个信号$x$乘以一个非零常数， $\alpha x$, 应该具有相同的稀疏性。换句话说，稀疏度量应该是$0$-同质。有趣的是，$\ell_1$压缩感知或套索回归中的代理是 $1$-同质。这确实是每个规范或准规范的情况$\ell_p$，即使他们倾向于（非稳健）计数度量 $\ell_0$作为$p\to 0$.

因此，他们详细说明了他们的六个公理，进行了计算，借鉴了财富分析：

• 罗宾汉（从富人那里拿走，给穷人以减少稀疏），
• 缩放（常数乘法保持稀疏性），
• 涨潮（添加相同的非零帐户可减少稀疏性），
• 克隆（复制数据保持稀疏性），
• 比尔盖茨（一个人变得更富有会增加稀疏性），
• 婴儿（添加零值会增加稀疏性）

并探究针对它们的已知措施，揭示基尼指数和一些范数或准范数可能是很好的候选者（对于后者，一些细节在Euclid in a Taxicab: Sparse Blind Deconvolution with Smoothed$\ell_1/\ell_2$正则化，2005 年，IEEE 信号处理快报）。我觉得这项初步工作应该进一步发展（敬请关注 SPOQ，Smoothed$p$超过$q$ $\ell_p/\ell_q$准规范/规范比率）。因为对于一个信号$x$,$0< p\le q$，范数比不等式产生：

并且倾向于$1$（左侧，LHS）当$x$是稀疏的，如果不是，则在右侧（RHS）。这项工作于 2020 年作为SPOQ: Smooth ℓp-Over-ℓq Regularization for Sparse Signal Recovery应用于质谱（arxiv 预印本，SPOQ 发表的论文，IEEE Transactions on Signal Processing，2020和Matlab 工具箱）发表。

但是，稀疏度的合理度量并不能告诉您转换后的数据是否足够稀疏，以满足您的目的。

最后，压缩感知中使用的另一个概念是信号的可压缩性，其中重新排序（降序）的系数幅度$c_{(k)}$遵循幂律$C_\alpha .(k)^{-\alpha}$, 越大$\alpha$，衰减越剧烈。