你观察向量它是由未知数据加上噪声（测量误差）的线性变换给出：$\mathbf{b}$$\mathbf{x}$$\mathbf{r}$

$$\mathbf{b}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{r}\tag{1}$$

误差被建模为具有已知均值和已知协方差的随机向量。请注意，变换矩阵是确定性且已知的，而数据是确定性但未知的。因此，我们有$\mathbf{r}$$\mathbf{A}$$\mathbf{x}$

$$E\left\{\mathbf{b}\right\}=E\left\{\mathbf{Ax}+\mathbf{r}\right\}=\mathbf{Ax}+E\{\mathbf{r}\}=\mathbf{Ax}\tag{2}$$

因为已知误差的平均值为。$E\{\mathbf{r}\}=0$

等式和暗示$(1)$$(2)$

$$\mathbf{b}-E\{\mathbf{b}\}=\mathbf{r}\tag{3}$$

您问题中带下划线的句子的意思是，除了给定的平均值之外，中推导出来。除了均值之外，我们唯一需要知道的是协方差矩阵。$\mathbf{r}$$\mathbf{b}$

在给定的假设下，观察的协方差等于误差的协方差：

$$\mathbf{\Sigma}_b=E\left\{(\mathbf{b}-E\{\mathbf{b}\})(\mathbf{b}-E\{\mathbf{b}\})^T\right\}=E\{\mathbf{r}\mathbf{r}^T\}=\mathbf{\Sigma}_r\tag{4}$$

我用过的地方。$(3)$

1. 线性模型是$b=Ax+r$，所以你可以看到错误$r$作为添加到测量中的噪声$b$.

2. 协方差$\Sigma_b=E\{(b-\bar{b})(b-\bar{b})^T\}=E\{(b-Ax)(b-Ax)^T\}=E\{rr^T\}$

3. $E\{rr^T\} \neq E\{bb^T\}$除非$Ax=0$