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使用 DFT 计算图像的一阶导数

信息处理自由度 Python

2022-02-05 17:40:08

我需要使用我构建的 DFT 函数（有效）计算灰度图像（二维数组）的一阶导数。不幸的是，结果似乎并不正确。

在傅立叶域中，导数 d/dx 为 F(u,v)* 2*pi*i/N * u，其中 u 是 x 轴变换，N 是矩阵维度之一的大小， v 是另一个。

附上代码。困扰我的是，我得到的结果与通过将 (1,-1) 或 (1,-1) 作为列向量的卷积进行微分不同。

def derivative(fourier_signal):
"""
Derivative in fourier domain is multiplying by u or v, and 2pi*i/N
:param fourier_signal:
:return:
"""
N = np.shape(fourier_signal)[ZERO]
M = np.shape(fourier_signal)[ONE]
u = np.arange(N)
v = np.arange(M)
du = fourier_signal * (u*TWO_PI*1j)/N
dv = fourier_signal * (v*TWO_PI*1j)/M
return du, dv


def fourier_der(im):
    # Calculate DFT2
    dft_image = DFT2(im)
    # Function that Multiply by rows by u, columns by y
    du, dv = derivative(dft_image)
    shifted_du, shifted_dv = np.fft.fftshift(du), np.fft.fftshift(dv)
    dx, dy = IDFT2(shifted_du), IDFT2(shifted_dv)

我不是在寻找关于如何做到这一点的简单答案，而是寻找关于为什么我的输出不正确的方向。

1个回答

它们是不相同的。使用一维符号，

离散时间（后向）一阶差分为 $x[n] - x[n-1]$ 其频域 DTFT 等效值为

x [n] - x [n - 1] \leftrightarrow X (e^{j ω}) - e^{- j ω} X (e^{j ω}) = X (e^{j ω}) (1 - e^{- j ω})

$x[n]-x[n-1] \leftrightarrow X(e^{j\omega}) - e^{-j \omega} X(e^{j\omega}) =X(e^{j\omega})(1- e^{-j \omega})$

变成

x [n] - x [n - 1] ⟷ X [k] (1 - e^{- j \frac{2 π}{N} k})

$x[n]-x[n-1] \longleftrightarrow X[k](1 - e^{-j \frac{2 \pi}{N} k})$ 使用 DFT 来实现它。

因此，实现一阶差分的离散时间系统的 FIR 脉冲响应为：

h [n] = δ [n] - δ [n - 1]

$h[n] = \delta[n] - \delta[n-1]$

连续变量函数的一阶导数 $x(t)$ 是 $x'( t)$ 在 CTFT 域中它变为：

x^{'} (t) ⟷ j Ω X (Ω)

$x'(t) \longleftrightarrow j\Omega X(\Omega)$

其中模拟系统频率响应为

H_{d} (Ω) = j Ω

$H_d(\Omega) = j \Omega$

这不能以数字形式实现，但在采样周期下获得了带限近似 $T$ 产生（带限）微分器的等效离散时间频率响应为

H_{d} (e^{j ω}) = j \frac{ω}{T}, | ω | < π

$H_d(e^{j \omega}) = j \frac{\omega}{T} ~~~, ~~~~ |\omega| < \pi$

相关的离散时间 (IIR) 脉冲响应为

h_{d} [n] = IDTFT {H_{d} (e^{j ω})} = IDTFT {j \frac{ω}{T}}

$h_d[n] = \text{IDTFT} \{ H_d(e^{j \omega}) \} = \text{IDTFT} \{ j \frac{\omega}{T} \}$

实际上你会截断和窗口 $h_d[n]$ 使用前。

所以他们不一样。

其它你可能感兴趣的问题

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