信息处理 - 什么是“创新过滤器”？ - 吾爱随笔录

信息处理过滤器功率谱密度有限脉冲响应随机

2022-02-05 17:53:21

我是一名数学研究生，正在研究关于 FIR 滤波器矩阵的特征值分解的论文（用于诸如总去相关、卷积混合、MIMO 之类的东西）。一开始，在描述他们的信号模型时，他们使用以下短语：

如果 PSD 的 $l^{th}$ 源是由一个稳定的因果创新过滤器产生的 $\text{F}_{l}(z)$ , ...

这是什么意思？我知道一个稳定的滤波器是一个系数 $a[n]$ 接近 0 作为 $n \rightarrow \infty$ , 因果过滤器是不使用未来值的过滤器（即没有负时滞）。我已经读过，随机过程方面的创新被定义为时间序列的实际下一个值与基于现有信息的最佳预测给出的值之间的差异。

但是，我找不到任何关于创新过滤器的描述。我有数学背景而不是 DSP/工程背景，所以有时一些术语会让我感到困惑，这就是为什么我希望 DSP 堆栈交换能有所帮助！

1个回答

WSS 流程的创新过滤器 $X(t)$ 是一个因果且稳定的最小相位滤波器，可用于生成 $X(t)$ 从白噪声输入 $N(t)$ ：

\begin{matrix} (1) & X (t) = \int_{0}^{\infty} h (τ) N (t - τ) d τ \end{matrix}

$X(t)=\int_0^{\infty}h(\tau)N(t-\tau)d\tau\tag{1}$

在哪里 $h(t)$ 是创新滤波器的脉冲响应。

的（因果和稳定）逆滤波器 $h(t)$ 被称为美白滤镜 $X(t)$ . 它对输入的响应 $X(t)$ 是白噪声 $N(t)$ .

可以表示的过程 $(1)$ 称为正则过程。请注意，其功率谱由下式给出

\begin{matrix} (2) & S (ω) = | H (ω) |^{2} \end{matrix}

$S(\omega)=|H(\omega)|^2\tag{2}$

在哪里 $H(\omega)$ 是脉冲响应的傅里叶变换 $h(t)$ 的创新过滤器（假设 $E\{N(t)N(t+\tau\}=c\delta(\tau)$ 和 $c=1$ ）。创新滤波器的因果关系要求意味着功率谱 $S(\omega)$ 的 $X(t)$ 满足 Paley-Wiener 条件

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{\infty} \frac{| \log S (ω) |}{1 + ω^{2}} d ω < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|\log S(\omega)|}{1+\omega^2}d\omega\lt\infty\tag{3}$

这意味着 $S(\omega)$ 不能包含谱线，也不能是带限的。与奇异过程（由谱线组成）不同，常规过程不能通过有限的随机变量集进行参数化，并且它是不可预测的，即，它不能完全根据其过去来确定。

参考： 概率、随机变量和随机过程，A.Papoulis，Athanasios 1965。McGraw-Hill。

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