为什么线性相位很重要?

信息处理 过滤器 过滤器设计 有限脉冲响应
2021-12-19 22:29:22

如果满足对称条件,则 FIR 滤波器具有线性相位。这不适用于 IIR 滤波器。

但是,对于哪些应用程序,应用不具有此属性的过滤器是不好的,会有什么负面影响?

4个回答

让我将下图添加到已经给出的很好的答案中,目的是对所提出的问题做出具体而明确的答案。其他答案详细说明了线性相位是什么,这详细说明了为什么它在一个图形中很重要:

线性和非线性相位信号的比较

当滤波器具有线性相位时,该信号中的所有频率将在时间上延迟相同的量(如 Fat32 的回答中数学描述的那样)。

任何信号都可以(通过傅立叶级数)分解成单独的频率分量。当信号通过任何通道(例如滤波器)延迟时,只要所有这些频率分量都延迟相同的量,延迟后将重新创建相同的信号(感兴趣的信号,在通道的通带内) .

考虑一个方波,通过傅里叶级数展开,它被证明是由无数个奇次谐波频率组成的。

在上图中,我显示了前三个组件的总和。如果这些分量都延迟相同的量,则当这些分量相加时,感兴趣的波形是完整的。但是,如果每个频率分量的延迟时间不同,则会导致显着的群延迟失真。

以下内容可能有助于为具有一定射频或模拟背景的人提供额外的直观见解。

考虑一个理想的无损宽带延迟线(例如近似于一段同轴电缆),它可以通过宽带信号而不失真。

这种电缆的传递函数如下图所示,所有频率的幅度为 1(假设它是无损的),相位与频率成正比负增长。电缆越长,相位的斜率越陡,但在所有情况下都是“线性相位”。

这是有道理的;1 Hz 信号通过电缆的相位延迟为 1 秒,延迟为 360°,而具有相同延迟的 2 Hz 信号的相位延迟为 720°,依此类推...

将其带回数字世界,是 1 个样本延迟(因此是延迟线)的 z 变换,仅就 H(z) 而言,具有与所示类似的频率响应;恒定幅度 = 1 和从 f = 0 Hz 到 f = fs(采样率)线性变化的相位。z102π

绘制出频率延迟的电缆

最简单的数学解释是与频率呈线性关系且具有恒定延迟的相位是傅立叶变换对。这是傅里叶变换的移位属性。秒为单位的恒定时间延迟导致频率为线性相位,其中是以弧度/秒为单位的角频率轴:τωτω

F{g(tτ)}=g(tτ)ejωtdt
u=tτ
F{g(u)}=g(u)ejω(u+τ)du
=ejωτg(u)ejωudu
=ejωτG(jω)

线性相位滤波器将保留信号的波形或输入信号的分量(在可能的范围内,考虑到滤波器的作用会改变某些频率的幅度)。

这在几个领域可能很重要:

  1. 相干信号处理和解调,其中波形很重要,因为必须对波形进行阈值决策(可能在正交空间中,并且具有许多阈值,例如 128 QAM 调制),以便确定接收到的信号是否表示“1 ”或“0”。因此,保留或恢复原始传输的波形至关重要,否则将做出错误的阈值决策,这将代表通信系统中的误码。

  2. 雷达信号处理,其中返回的雷达信号的波形可能包含有关目标属性的重要信息

  3. 音频处理,有些人认为(尽管许多人质疑其重要性)“时间对齐”复杂波形的不同分量对于再现或保持聆听体验的微妙品质(如“立体图像”等)很重要

只是为了补充已经说过的内容,您可以通过查看以下频率单调递增的正弦曲线来直观地看到这一点。

在此处输入图像描述

将此信号向右或向左移动将改变其相位。但还要注意,较高频率的相位变化会更大,而较低频率的相位变化会更小。或者换句话说,相位随频率线性增加。因此,恒定的时移对应于频域中的线性相位变化。

线性相位特性的本质和重要性在于群时延 对施加信号的定义和影响, 其中是滤波器的相位响应;(其频率响应的相位)。

τ(ω)=dϕ(ω)dω
x[n]ϕ(ω)

假设具有个样本的固定群延迟的滤波器应用于窄带输入信号那么输出信号将(近似)为的形式,其中是在窄带输入信号的中心频率处评估的滤波器增益。这意味着输入信号将被滤波器的群延迟作为一个整体完整地加权和移位。只有当群延迟与频率无关时才会发生这种情况。如果底层过滤器具有线性相位,就会出现这种情况n0x[n]y[n]=Kx[nn0]Kx[n]ω(或广义线性相位)。注意,如果输入信号是宽带类型的;即,其最小和最大频率远离其中心频率,则该近似值无效,即使信号中每个正弦分量的群延迟仍然相同,它们的相对输出幅度将因频率相关的滤波器增益而异K(w)

那么具有非线性相位(或频率相关群延迟)的滤波器对输入信号有何影响?一个简单的例子是一个复杂的输入信号,它被认为是不同中心频率的多个波包的总和。在过滤之后,由于频率相关的群延迟,具有特定中心频率的每个数据包将被不同地移动(延迟)。这将导致这些波包的时间顺序(或空间顺序)发生变化,有时甚至会发生剧烈变化,具体取决于相位的非线性程度,这称为色散在通信终端学。不仅复合波形,而且一些事件顺序也可能丢失。这种分散的信道对传输的数据具有严重的影响,例如 ISI(符号间干扰)。

因此,线性相位滤波器的这种特性也称为波形保持特性,特别适用于窄带信号。除了上面提到的 ISI 之外,波形很重要的一个例子是在图像处理中,其中傅里叶变换相位信息与傅里叶变换的幅度相比对于图像的可理解性来说是最重要的。然而,由于耳朵对刺激的不同类型的敏感性,对于声音信号的感知不能这么说。