在离散时间信号处理术语中，反向（一个样本）差分滤波器是

$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$

这是一个因果 LTI 系统，其 FIR 脉冲响应为

$$h[n] = \delta[n] -\delta[n-1]$$

相关的频率响应是脉冲响应的 DTFT，如

$$\begin{align} H(e^{j\omega}) = \mathscr{F}\{ h[n] \} &= 1 - e^{-j\omega} \\ &= e^{-j\omega/2}(e^{-j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) \\ &= 2j e^{-j\omega/2} \ \tfrac1{2j}(e^{-j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) \\ &= e^{-j\omega/2} 2j \ \sin(\omega/2) \\ &\approx e^{-j\omega/2} j \ \omega \qquad \text{for } |\omega| \ll \pi \\ \end{align}$$

所以你有一个延迟$\frac12$样品，+ 90°的额外相移（由于$j$因子），以及与频率成比例的增益（至少对于低频，相对于奈奎斯特）。除了半采样延迟之外，这是您对微分器的期望。

如果你碰巧使用$N$- 样本后向差异，例如

$$y[n] = x[n] - x[n-N]$$

那么相关的频率响应将是

$$H_N(e^{j\omega}) = 1 - e^{-jN\omega}$$

这类似于第一个订单情况，但延迟是$\frac{N}2$样本，增益为$N \omega / 2$.