如果不提及傅里叶变换，很难给出带宽的定义。

我希望以下定义对数学家最有意义。考虑傅里叶变换函数的空间$X(\omega)$其支持域是紧区间$\omega$（一个或两个对称的部分，而不是分散的）。那么我们将考虑两种情况：

案例一是实值函数$x(t)$其傅里叶变换$X(\omega)$是双面的并且关于共轭对称$\omega=0$对于这样的功能$x(t)$带宽是位于正数的支持域的长度$\omega$.

案例二适用于复值（分析）函数$x(t)$其傅里叶变换是单面的，并且对于$\omega<0$. 对于这样的功能$x(t)$带宽是位于正数的支持域的长度$\omega$.

尽管这两个带宽相同，但必要的奈奎斯特采样率是不同的；具体来说，实际信号比复数值情况大两倍。

有大量严格的数学属于谐波分析一词，可能适合您。Plancherel 定理是严谨的，甚至是有用的。

将带宽定义为频域中的闭合区间的问题在于，它对应于从负无穷到正无穷随时间存在的时域信号，这在物理上是不可能的。

更好的方法可能是沿着认识到$e^{-t^2}$和$e^{-f^2}$是傅里叶对。现在可以从概率论中借用均值和方差的思想。置信区间实际上是一个带宽。delta 函数通常作为正态分布的极限引入$\sigma \rightarrow 0$，唤起温暖的工程模糊感。

因此，就像方差一样，对于来自非指数族的分布，带宽是一个总体特征，但不是一个充分的统计数据。映射到带宽的函数数不胜数。

带宽也与平滑度有关。

众所周知，DSP 的基础人物 Oliver Heaviside 说过

“该死的严格，我不需要了解消化就能享受一顿美餐”

也许有点轻率，但他确实为麦克斯韦方程组发明了运算微积分和向量微积分形式。