某些信号是由物理上能够仅在特定频率范围内生成频率的过程生成的。例如，人类的声道只能产生大约 50 到 10,000 Hz 之间的信号。这并不意味着每个人都可以达到这个范围，或者有些人可以产生略高于或低于的频率。当说人声有一定的带宽时，并不意味着人声的每一个实例实际上都会覆盖整个范围；这仅意味着您不会经常发现超出该范围的频率。

其他信号的带宽受设计限制。一个例子是模拟电话中的语音；声音被过滤到大约 300 到 3400 Hz 的范围内，并且不可能在系统中找到超出该范围的频率。另一个例子是模拟电视：信号被设计为具有 6 MHz 的带宽，除了设备故障，您永远不会找到频率超出该范围的电视信号。

我将对此进行尝试，因为我认为您的困惑在于我们如何使用“带宽”一词，而不一定是理论问题。

当我们说信号具有带宽时，就像您可能想的那样：查看它的傅里叶变换将使我们了解信号中的频率成分。

当我们说“X 波段射频频率在 8 GHz 到 12 GHz 的波段内”之类的话时，我们使用了不同的带宽定义。在本描述中，我们只是说明在这个 4 GHz 频带中可以存在任意信号。

所以这是在提到带宽时引入常见限定符的地方：

1. 瞬时带宽。也称为“分析”带宽。
2. 带宽中术语“宽度”的字面使用。您有时会看到术语“可调带宽”。

对信号进行傅里叶变换，比如有人在说话或弹吉他，会显示它的带宽（瞬时 [1]）。我们还知道音频的带宽为 20 Hz - 20 kHz（术语 [2] 的字面意思）。

另一个示例：雷达系统传输带宽为 100 MHz（瞬时 [1]）的线性调频 (LFM) 脉冲。它可以在 10 GHz - 12 GHz（可调 [2]）之间的频率带宽上运行。

因此，阅读时，请牢记上下文。稍等片刻之后，就很容易知道正在谈论的是哪个“带宽”。

完整的问题探讨了“什么是科学？”，所以我将尝试简化。

傅立叶变换是一种工具。一个数学结构。目标是准确地描述现实。

假设有一个摆动的钟摆。假设我们知道它每秒摆动 3 次，因为我们设计了一个电机来驱动它。我们如何在数学上描述这种摆动？我们可以说，

$$s(t) = \cos(2\pi \cdot 3\cdot t) \tag{1}$$

这将准确地描述任意持续时间到的摆动。这里的“数学构造”是一个连续时间函数，它不假定预定义的域，而是允许按需选择到$t_0$$t_1$$t_0$$t_1$

现在假设尽管知道摆动速率，我们仍试图测量它并从这些测量值中用数学方法描述它。我们记录钟摆位置 5 秒，称之为“数据 A”。然后对于 12，将其称为“数据 B”。我们对A和B进行傅里叶变换，尽管物理过程完全相同，但得到的结果却不同；怎么会这样？

因为通过对进行傅里叶变换，我们正在回答这个问题，“跨越所有时间的连续复数正弦曲线的频率连续统是什么，到，它将无限地求和（积分）到？” 这个连续统的变化仅仅是因为在 B 中，我们在比 A 中更大的间隔内求和到非零。现在让我问这个：你为什么关心？$x$$-\infty$$\infty$$x$

我们真的必须测量从大爆炸到热死的过程才能知道它的频率吗？不，我们必须测量多少？这是一个统计问题和统计意义。给定 12 秒的测量值，运用我们对现实的了解（物理学），我们可以自信地说： “在相同的环境（风、重力等）和驱动器（电机）的情况下，这个钟摆将以每秒 3 个周期的速度摆动” 。请注意，即使我们测量了年，此声明也不会改变；它只会说“我们有一个可怜的家伙永远盯着钟摆做我们知道它会做的事情。”$10^{100}$

现在假设我们不提前知道频率；演习是一样的：衡量“足够长”，概括。对于钟摆，我们测量 12 秒 - 如果有风，也许我们测量 60 秒。然后应用系统知识，例如（在无噪声情况下）“钟摆仅以一个频率摆动”，以清除“伪影”，如频谱泄漏- 我们可以再次得出类似的公式。$(1)$

音频也一样；对于语音，我们已经从物理和统计上研究了声带等，以了解“足够长” - 即测量直到它重复（一个完整的周期）。

为什么偏爱 DFT？

因为与连续 FT 不同，离散傅里叶变换不假设无限持续时间的基函数。你测量了 12 秒？基函数为 12 秒。无需尝试描述这 12 秒之后发生的事情，也无需假设。结果只是有意义的的公式时，不会违反假设。$(1)$

“没有物理信号带宽限制”？

取决于“bandlimited”是什么意思。Bandlimited = 有限的频率范围。那么问题来了，什么是频率？或频率是什么？无限持续时间的正弦曲线？那么是的，没有物理信号是带限的。但话说回来，你又何必在乎呢？

断言这是明显的误导，因为它表明每个物理过程都有无限的衍生过程，每个过程都有自己的频率。知道一个过程的实际最大频率是一项物理努力，而不是转换。DFT 没有犯这种谬误（但它的弱点是对超过其一半采样率的任何事物视而不见（如果我们知道所说的频率不存在，这不是问题））。

为什么不支持 DFT或CFT？

因为构建块在它们可以“直接”描述的行为种类上固有地受到限制。假设相同的钟摆，但现在阻尼。它的金融时报：

$$s(t) = e^{-t} \cos (25t) u(t)\ \Leftrightarrow\ S(\omega) = \frac{1 + j\omega}{(1 + j\omega)^2 + 625} \tag{2}$$

傅里叶变换告诉我们什么？无数个频率。这是一个合理的物理描述吗？几乎没有（仅在某些间接意义上）；问题是，FT 使用固定幅度的正弦曲线作为构建块，而这里我们有一个可变幅度，不能轻易地用恒定频率表示，因此 FT 被迫“补偿”所有这些额外的“频率”。

我们需要能够绘制出随时间变化的频率和幅度的非平稳方法。下面是的同步压缩连续小波变换：$(2)$

澄清：DFT 与 CFT

DFT 并没有完全摆脱 CFT 在计算值方面的缺陷；实际上，DFT 是 DTFT 的采样，而 DTFT 是 CFT 的周期化——也就是说，我们可以从 CFT 预测 DFT 值。DFT 可以隐藏 不方便的频率（例如，通过对波形的完美整数周期进行采样），但它们会通过修剪（或填充）输入而暴露出来。

优势源于对结果系数的解释，其基函数根据定义不是无限周期的。我们将它们解释为与输入长度基数相关的强度（例如，可以将单个非零 DFT bin 的“方便”结果概括为完美的无限正弦曲线）。

黑盒案例

如果我们对系统一无所知，那么为了确定地映射它的频率，我们不仅必须一直采样，而且必须以无限的速率进行采样。我们两者都做不到。最起码，我们从做出假设开始，然后通过进一步的观察来完善——经验的方式。有关详细说明，请参阅 MBaz 的答案 + 评论。

士气

使抽象结构适合现实，反之亦然。

这怎么可能知道？

两种方法：

1. 分析产生信号的过程背后的物理原理
2. 看了很多实际数据

#1 的示例：如果您有一个 AM 无线电发射器，您知道它可以产生的频率范围是载波频率加/减最高调制频率。该装置在物理上不能产生任何其他东西。

#2 示例：对于人类语音，您可以简单地分析许多人的语音记录（确保您对性别、年龄、语言、种族、情绪、内容类型等有足够广泛的覆盖范围），然后看看会发生什么。事实证明，这些都没有显示出高于 10 kHz 的大量能量，这仅仅是因为人类用来创建语音的物理机制是相同的，并且无法产生具有显着能量的更高频率。

“带宽”的整个想法有些棘手。从严格的数学角度来看：带宽有限的信号是不可能存在的。它们必须在时间上是无限的，这在物理上是不可能的。为了使正弦波成为“真正的”正弦波，它必须从开始并继续到。$-\infty$$+\infty$

所以在实践中，带宽的定义通常只是意味着“这个频带之外的能量足够小，以至于它对我的特定应用和要求无关紧要”。显然，此定义取决于应用程序：您可以使用 4 kHz 的带宽获得非常好的语音清晰度，但如果您想要一本悦耳的有声读物，您应该至少提高到 8 kHz，而 12 kHz 会更好。