指数函数上的傅里叶确实可以说得通。理论上，在特定条件下。而在实际的 DSP 中，不太可能。

傅里叶变换存在的条件非常多，以至于整本书都专门介绍它们，例如 DC Champeney，傅里叶定理手册，剑桥大学出版社，1987 年。并且该领域仍然是一个开放主题，换句话说，并非所有条件都是已知的, 例如傅里叶级数是唯一的。

简单地说：如果是绝对可积的（空间），那么也是绝对可积的，凭借支配收敛定理，因为. 因此，这是一个非常直接的条件。顺便说一句，请注意不是绝对可积的，这是一个有趣的悖论。$x(t)$$x\in L_1$$x(t)e^{-jwt}$$|x(t)e^{-jwt}|\le | x(t)|$$e^{-jwt}$

在信号处理应用和统计学中，由于正交性或能量保存很重要，通常将域进一步限制为。这对于离散信号不是必需的，如 。$x\in L_1 \cap L_2$$\ell_2 \subset \ell_1$

由于指数函数，，在整个 -线上不可积，它们应该被截断或加窗以便在实践中使用。$\exp(-at)$$a\neq 0$$\mathbb{R}$

如果您真的想定义它，您可以参考一些分布理论，例如查看（实）指数的傅里叶变换，您可以在窗口的精神下限制测试函数的空间。

请注意，傅里叶变换定义为$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) e^{-j\omega t} dt$. 为了使它具有封闭的形式表达，$x(t)$应该是绝对可积的。但这只是充分条件而不是必要条件。也就是说，即使信号不是绝对可积的，傅里叶变换仍然存在。

对于指数函数，项$\int_{-\infty}^{\infty}e^{at} e^{-j\omega t} dt$不能有封闭形式的表达。