信号是否存在于希尔伯特空间中仅取决于您是否说它存在。如果你这么说，那么你需要指定一个内积$<x,y>$（这对于有限长度的离散时间信号非常容易）

$$\langle x,y \rangle = \sum_n x[n] y^*[n]$$

并且您需要使用该内部产品定义来定义规范

$$|x| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$$

这也应该与距离测量值相同$x$到$0$希尔伯特空间中的元素。

并且您需要能够在希尔伯特空间中添加和减去元素（对于离散时间信号很容易做到）。为什么这可能有用将用于定义信号$x$, 对该信号的估计$\hat{x}$, 和一个错误信号,$e_x$这样

$$\hat{x} = x + e_x$$ 或者 $$e_x = \hat{x} - x$$

我们可以想到$e_x$这是

$$|e_x| = \sqrt{\langle e_x,e_x \rangle}$$

作为距离的度量$\hat{x}$来自$x$.

if 为您提供了一个定义错误的正式框架，然后可能会帮助您使用算法（如匹配滤波器）来最小化错误，以便接收到的信号最接近传输的信号。或者使其他一些“事物”最接近某个指定的目标“事物”。