信息处理 - 离散化 CWT vs. DWT vs. FWT vs. MRA - 吾爱随笔录

离散化 CWT vs. DWT vs. FWT vs. MRA

信息处理离散信号信号分析小波 stft

2022-02-12 09:44:15

通过阅读一些关于小波的书籍，Discretized CWT 似乎与 DWT 不是一回事。

我们可以对离散化 CWT、DWT 和 FWT 等进行分类吗？

几点说明：

我读到的关于 DWT 或 MRA（多分辨率分析）的所有内容都涉及一个二元因子 (2) $a$ 在 $\frac{1}{\sqrt{a}} \Psi(\frac{t-b}{a})$ ， IE $a=2^m$ . 总是真的吗？备注：这对于进行非冗余变换是很好的（请参阅此处 B Z 的回答Scalogram (and related nomenclatures) for DWT?），但是这种变换的图形表示对于 a 的可视化分析并不是很令人满意信号。存在的事实 $a=2^m$ 所涉及的意味着研究的频带[在母小波具有窄带傅立叶变换的情况下，例如 Morlet 小波http://ieeexplore.ieee.org/ieee_pilot/articles/06/ttg2009061375/assets/img/article_1 /fig_3/large.gif]是 [20hz,40hz]、[40hz,80hz]、[80hz, 160hz] 等。因此，我们不能指望具有精确频率分辨率的良好图形表示。似乎这种变换更适合“近似+细节”而不是视觉频率分析（尺度图等）
另一方面，连续小波变换的离散化允许采取 $a=1.0004^m$ 例如，对于想要进行图形表示（尺度图）的人来说，因此具有更精确的频率分辨率。

2个回答

对于 CWT，定义中的值可以是任何 $a\in \mathbb R^+$ 和 $b\in \mathbb R$ 如果应用于函数。CWT 也可以应用于离散信号（离散 CWT） $b$ 限于适当的离散值（和任何 $a$ , 但通常 $2^{j/v}$ 在哪里 $v$ 是转换的“声音/八度”）。现在当我们限制 $a$ 到一些离散值 $2^j$ 我们得到 DWT，这是一个正交变换。

（小编辑以更正比例： $2^{j/v}$ 代替 $a^{j/v}$ )

连续小波函数中的小波函数需要满足某些相对较弱的容许条件。

为了使离散化 CWT 工作，需要对应于选择的移位和缩放函数 $a$ 和 $b$ 形成一个框架。这为母小波提供了稍强的条件，但基本上这总是可以满足的，如果 $a-1$ 和 $b$ 选得足够小。

即使当 $a=2$ 和 $b=1$ 仍然满足框架条件，不能保证存在父小波或缩放函数来补充小波框架以进行多分辨率分析。

您需要具有有限滤波器的 MRA 来实现快速小波变换，其理论上合理的采样机制适用于变换的所有尺度和深度。本质上，您需要一个以紧凑峰值为主要特征的连续父小波，以通过仅对信号进行采样来证明 FWT 的初始化是正确的。

在相反的方向上，并非所有对快速离散 WT（对于 FWT 递归的小深度）具有令人满意的特性的滤波器组系统都返回到 MRA，缩放方程可能没有连续解。

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