您是正确的，FWT 最好被视为 STFT 的“表亲”，而不是 FT。实际上，FWT 只是 CWT（连续小波变换）的离散采样，因为 FFT/DFT 是傅里叶变换的离散采样。这似乎是一个微妙的点，但在选择如何离散化变换时它是相关的。

CWT 和 STFT 都是信号的冗余分析。换句话说，您拥有的“系数”（在离散情况下）比完全表示信号所​​需的要多。然而，傅立叶变换（或者说只使用一个尺度的小波变换）将信号从 -infinity 积分到 +infinity。这对现实世界的信号不是很有用，所以我们将变换截断（即窗口）到更短的长度。信号的窗口化改变了变换——你乘以时间/空间中的窗口，所以在变换空间中你有窗口变换与信号变换的卷积。

在 STFT 的情况下，窗口（通常）始终具有相同的长度（非零范围），并且与频率无关（您将 10 Hz 信号与 10 kHz 信号的宽度相同）。所以你得到了像你画的那样的矩形网格频谱图。

CWT 内置了这种窗口，因为随着尺度减小（如更高的频率），小波变得更短（在时间或空间上）。因此，对于较高的频率，有效窗口的持续时间较短，您最终会得到一个看起来像您为 FWT 绘制的比例图。

您如何离散化 CWT 在某种程度上取决于您，尽管我认为在移位和比例中都有最小的采样来完全表示一个信号。通常（至少我是如何使用它们的），对于最低比例（最高频率），您将在所有班次位置（时间/空间）进行采样。随着规模越来越大（频率越来越低），您可以减少采样频率。基本原理是低频变化不会那么快（想想钹碰撞与低音吉他 - 钹碰撞的瞬态非常短，而低音吉他需要更长的时间才能改变）。事实上，在最短的范围内（假设您在所有移位位置进行采样），您可以获得信号的完整表示（您可以仅使用此比例的系数重建它）。我不太确定抽样规模的基本原理。一世' 已经看到这建议为对数，（我认为）较短的刻度之间的间距更近。我认为这是因为较长尺度的小波具有更广泛的傅立叶变换（因此它们“拾取”更多频率）。

我承认我并不完全了解 FWT。我的直觉是它实际上是移位/比例的最小采样，而不是冗余表示。但是我认为你失去了在短时间内分析（和处理）信号的能力，而不会引入不需要的伪影。我会阅读更多关于它的信息，如果我学到任何有用的东西，请回来报告。希望其他人愿意发表评论。

考虑 Haar 小波情况。快速小波变换递归地细分您的信号并每次计算两半的和和差。差值是当前小波的变换幅度，总和返回给调用者以计算具有一半频率的扩张小波的变换幅度。因此，FWT 使用您给出的图表中描述的模式覆盖时频平面。

请注意，您提供的图表有点误导。他们真正想告诉你的是，你得到一个最低频率的样本，两个这个频率的样本，四个这个频率的四倍样本，等等。每个小波的时频特性不会覆盖它们的瓦片。实际上，每个小波将覆盖无限区域，因为它们具有紧凑的支持，因此必须在频率方面完全离域。所以你应该只考虑这些瓷砖的中心。

此外，FWT 需要一个离散小波，它必须遵守比 CWT 的连续小波更严格的可接受性标准。因此，离散小波的时频特性通常很糟糕（例如，Daubechies 小波要么充满尖锐的特征，要么具有不断变化的频率），并且在 FWT 的背景下，时频平面的效用大大降低。然而，连续小波用于计算信号的时频表示。

你的参考有它：

基于小的有限波或小波的正交基的系数序列。

更多信息，您可能会喜欢DWT 页面。其中介绍了 Haar 小波、Daubechies 小波等。它指出了如何

• 小波有位置——(1,1,–1,–1) 小波对应“左侧”与“右侧”，而最后两个小波在左侧或右侧都有支撑，一个是平移的另一个。
• 正弦波没有位置——它们遍布整个空间——但确实有相位——第二波和第三波是彼此的平移，对应于相位差 90°，如余弦和正弦，它们是离散的版本.

如果您现在想了解连续小波或复小波，而不是离散小波，则可以从小波系列开始。

除了维基百科，一本教科书和一门课程可能对你有好处。

基本上，FFT（快速傅里叶变换）和 FWT（快速小波变换）是离散化变换的两种实现，源于连续变换，转为离散，比标准矩阵实现快得多$O(N^2)$（对于一维数据）。一种更适合谐波信号，一种更适合瞬态信号（或多或少）。

请注意，FWT 不需要是正交的，并且存在其他快速版本，例如提升方案。还要注意，这些估计是渐近的，并且对于短数据来说它们不能容易地进行比较。换一种说法，$O(N)$不是“必须更快”比$O(N\log(N))$在非渐近状态下，因为常数在$O(\cdot)$可以改变交易。而在更高维度上，事情并不是那么简单。

从通用的窗口 STFT（连续形式）开始。如果插入单位高度的无限窗口，则可以将傅里叶变换恢复为特殊情况。您可以离散化（并获得 DFT）并使其快速（并获得 FFT）。

从 CWT（连续形式）开始。连续 CWT 承认数量惊人的潜在小波形状。它们只能通过尊重某些“海森堡”不等式的采样模式（时间或规模）精确离散化：每单位表面一个样本。这些模式取决于小波。在大多数情况下，这些模式会产生一个冗余的离散 CWT，并产生一个小波框架。

有些人希望它是非冗余的，具有二元规模 (DWT)。只有极少数的小波（仍然是无限数量，但您无法偶然找到它们）允许这样做。第一个是 Haar、Franklin 和 Meyer 小波。如果然后将小波支持限制为有限，那么很长一段时间以来，Haar 都是唯一的。从“自然连续小波”中获得正交小波几乎是不可能的，这就是构建Daubechies的小波以及后来的Symmlets和Coiflets的原因。那些形状怪异的小波没有像 Morlet 小波那样漂亮而简单的公式。

但是，它们可以通过过滤器和下采样来实现，而不是积分。并通过一些巧妙的技巧，他们最终在 $O(N)$算法。你有 FWT。因此，我有点不同意：

实际上，FWT 只是 CWT 的离散采样

DWT（或 FWT）是精确的，就像 DFT/FFT。大多数其他离散化 CWT（带有任何小波）大致如此（如果您有足够的冗余，则不会造成太大伤害）。

所以：

• 一个单一的 FWT 操作计算不同级别的所有系数。DWT 为您提供$k$每个矩形的点，你可以想象它在中心，但这是一个约定。基本上，这是您未知的连续 CWT 平面的样本：$k$每个“单位”表面的样本。每个点“代表”整个矩形，有点像一个 DFT 点代表他周围的整个 DFT bin。没有完全正确，但这就是想法。这$k$由信号长度给出。在您的图形中，假设您有$8$之间的点$0$和$4T$. 一级 DWT 为您提供$2\times 4$点（一个低通，一个高通，下采样$2$）。这就是你第一次尝试 Python 时得到的结果。这$4$来自高频过滤为您的每个平面矩形提供一个样本$[\omega/2,\omega]$，最高频率。另一个$4$点被分解为$2\times2$又是一低通，一高通。与上述类似，$2$给你两个正方形的每一个样本。剩下的低通/高通，你得到一个样本$[\omega/8,\omega/4]$. 最后一个样本是最终的低通系数，放在最左边的高矩形中。这就是你最终的 Python 代码所拥有的：$[1,1,2,4]$系数
• 矩形将用 CWT 填充。使用 DWT，它们没有被填充，只有$k$每个样本，就像 DFT bin 没有“填充”一样。
• FWT 渐近地减少$+$和$\times$比 FFT。这总是在计算上更有效率吗？不确定，取决于中的常数$O(N)$. 用于正弦分析？FWT 从来都不是很好（尤其是由于有限长度的过滤器）。但是对于图像的紧凑表示，例如在 JPEG2000 中，它们可能非常好。在那里，您可以使用稍快的方案，例如提升方案。

下图揭示了 Haar 小波的连续版本

可以被采样成一个正交的离散小波：

请注意，有时使用 FFT 计算一些离散小波，尤其是长小波（如样条）：）