所以，最好的消息首先：

奈奎斯特是你的朋友！只要您的采样率足够高，带限模拟信号中包含的所有信息都可以用数字化信号来表示。

换句话说：你不能采样太快，即使采样率和信号频率的比例不合理，你也不会丢失信息。

因此，您可以先遵循示例，然后再提问哲学¹。

那么，是的，如果您希望您的周期信号在您的 DFT 中占据奇异区间，则 DFT 长度需要是您的周期的整数倍。是的，现在 FFT 可以用更少的限制长度来实现²。您的$10^N = 2^N\cdot5^N$当然是 FFTW 涵盖的。

我想鼓励您不仅将 DFT 视为频率估计器。

MUSIC 能够计算任意频率的频谱（即，这是一种算法，你可以问“嘿，f=0.123141414288 的幅度是多少？”）而不是给你一个频率均匀的幅度矢量，如果你知道你'正在寻找频谱中固定数量的“峰值”，ESPRIT 可能是你的事。这些算法的准确性不受频率正交基的限制，而是取决于您估计信号自相关的能力——您可以通过添加更多观察来提高自相关。

所以，也许你想做以下事情：

• 将 DFT 应用于您的信号，以“粗略了解”您的能量在频率中的位置
• 使用 MUSIC 以非常精细的分辨率围绕这些感兴趣的频率生成（伪）频谱
• 一旦您知道频谱中预期有多少音调，就可以将 ESPRIT 投入到问题中，以准确找到信号中的主要频率数量

²：FFTW 文档（据我所知）并没有真正具体说明，但在半句话中声称事情最适合可以分解为主要因素的长度$\le7$; 主页上某处引用的一篇论文提到，您最多可以有两个因子 11 和一个因子 13，以获得优化的 FFT。该信息来自我的脑后，可能是错误的或过时的，即使完全错误：通过矩阵向量乘法完成的绝对幼稚的 DFT不会给您的 PC 带来难以承受的负载。
因此，只需使用您需要的 DFT 长度，除非您需要转换的向量有数百万个值。
并且，直接来自 fftw.org 主页：任意大小的转换。（具有较小素数的尺寸是最好的，但 FFTW 使用 O(N log N) 算法，即使是素数。）
所以，假设你正在做$10^6$变换，而 FFTW 不能做得更好$\mathcal O(N\log N)$，这将是每个转换数百万个浮点运算的顺序。假设您的 PC 已经使用了大约 20 年，并且每秒可以处理 1000 万次这样的数据——您是否需要担心？