假设我有两个测量序列，$x_1[n]$和$x_2[n]$用于$0 \le n \le N-1$。

如何判断两者之间是否存在因果关系？

我的第一个想法是，嗯......我可以找到$x_1$和$x_2$之间的相关性。但几乎立刻我就被相关性不是因果性所震撼。

OK，所以在 Python 中，我们可以生成一个统一的噪声信号x1，然后对其进行滤波得到x2. 显然，在这种情况下，x2与 有因果关系x1。

import numpy as np
import scipy.signal as signal

Q = 50
N =1000
x1 = np.random.uniform(-1,1,N)
b,a = signal.iirfilter(1,[2*500*(1-1/(2*Q))/44100,2*500*(1+1/(2*Q))/44100])
x2 = signal.lfilter(b,a,noise1)

x1

x2

不幸的是，两者的相关性并不能告诉我们太多：

接下来，我考虑使用coherence：

$$C_{x_1x_2}(\omega) = \frac{|G_{x_1x_2}(\omega)|^2}{G_{x_1x_1}(\omega) G_{x_2x_2}(\omega)}$$

其中$G_{ab}$$a$和$b$之间的交叉谱密度。

但是，这似乎只是告诉我两者是因果关系……它并没有告诉我因果关系的方向。

上图显示了应该显而易见的内容：$C_{x_1x_2}(\omega) = C_{x_2x_1}(\omega)$。

那么......我如何确定因果关系的方向？

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例如，假设我想知道是否导致，反之亦然。$x_1$$x_2$

所以 或 其中是卷积，和是 LTI 系统的脉冲响应。据推测，是的倒数，因此。

$$x_1 = h \star x_2$$ $$x_2 = g \star x_1$$ $\star$$h$$g$$g$$h$$g \star h = 1$

和是否可能都是稳定的和因果的？$g$$h$