关于您的第一个问题，（对于偶数）对应于最高频率的事实与的周期性有关。请注意，由于周期性，索引、等对应于负索引、等，它们是低（负）频率。例如，考虑。如果您采用的 DFT，您将获得和处贡献$k=N/2$$N$$X[k]$$k=N-1$$k=N-2$$k=-1$$k=-2$$x[n]=\cos(2\pi n/N)$$x[n]$$X[k]$$k=1$$k=N-1$. 然而，如果断定信号在低频处有一个分量，在高频处有一个分量，那就错了。只是实值信号具有共轭对称频谱，因此您可以获得正频率和相应负频率的分量。由于的周期性，后者出现在更高的 DFT 指数上。时的信号及其 DFT 系数：$X[k]$$N=8$

关于第二个问题，如前所述，实值信号具有共轭对称谱，其 DFT 系数满足

如果要对实值信号进行插值，则零填充频谱也必须满足。这意味着您必须在给定频域向量的中间补零。否则，逆 DFT 将生成复值时域信号。$(1)$

不久前，我记得某位教授说过，对于 N 点 DFT 频域，N/2 附近的 k 值（谱域的中点 - π 附近的值）被认为是高频，而端点 (0, N-1) (那些在 0, 2π 附近) 被认为是低频。考虑到计算 DFT 系数的定义，我在数学上看不到这一点。

您可以根据自己的喜好定义 DFT，只要实际上覆盖相同的频率 - 请记住，$f(x) = e^{jx}$是$2\pi$-周期性的，因此，例如，总和$k=0,\ldots, N-1$与总和相同$k=-\left\lfloor\frac N2\right\rfloor,\ldots,0,\ldots,+\left\lfloor\frac {N-1}2\right\rfloor$.

我看到的示例似乎决定在中间填充系数，即对于 N=4 和所需的 2N 采样，[1 2 3 4] 变为 [1 2 0 0 0 0 3 4]。有没有理由为什么中间是目标而不是像 [1 2 3 4 0 0 0 0] 这样的结尾？

同样，DFT 的不同定义导致此处的零填充不同形式。

（1）我认为第一个问题确实是为什么数字频率是周期性的。对于这个问题，可以检查 DFT 的定义，但其原因并不直观。要理解这一点，我们可以参考周期性采样过程和频谱扩展的变化。那么，由于实数值信号具有对称谱，所以也很容易理解为什么$\pi$是 DTFT 中的最高频率（在 DFT 中，$\pi$可能不会对奇数尺寸进行抽样）。

(2)插值是指以较小的采样间隔或较高的采样频率重新采样。同样借助采样的角度，采样频率越高$f_s$使扩展更宽，因此新内容应该为零。然后，在频域中，在最高频率处填充零等效于时域中的插值。另外，正如其他人指出的那样，为什么在中心填充实际上是为什么最高频率在中心，这是由于 DFT 的通用定义。

如果您还记得基带信号必须带宽限制在采样率一半以下的原因，原因是任何高于 Fs/2 的频率（在严格的真实数据中）都将与低于 Fs/2 的频率混叠。因此，如果数据是真实的并且带宽限制在 Fs/2 以下，则 DFT 中高于 N/2 的 bin 不能表示正确带宽限制采样数据中不存在的频率。

另请注意，给定严格的真实数据，DFT 的结果将是共轭对称的。因此，“上”端的那些 DFT 结果箱并不独立于下半部分，因此不能表示与 DFT 下半部分不同的频率。

保持这种共轭对称性以便 IDFT 的结果将产生严格的真实数据，这就是为什么必须以围绕第 0 个元素圆对称的方式进行填充的原因。给定真实输入，不对称填充可能会产生复杂的结果，这可能不是仅仅改变采样率的预期结果。