要对此添加视觉解释：让我们考虑您计划建模的几个点。

它们看起来可以用直线很好地描述，因此您可以对它们进行线性回归：

此回归线允许您进行插值（在数据点之间生成预期值）和外推（在数据点范围之外生成预期值）。我用红色突出了外推，用蓝色突出了最大的插值区域。需要明确的是，即使是点之间的微小区域也会被插值，但我在这里只强调大的区域。

为什么外推通常更受关注？因为您通常不太确定数据范围之外的关系形状。考虑当您收集更多数据点（空心圆圈）时可能发生的情况：

事实证明，你的假设关系并没有很好地捕捉到这种关系。外推区域的预测还差得很远。即使您猜到了正确描述这种非线性关系的精确函数，您的数据也没有扩展到足够的范围以使您能够很好地捕捉非线性，因此您可能仍然相距甚远。请注意，这不仅是线性回归的问题，而且是任何关系的问题——这就是外推被认为是危险的原因。

由于拟合中缺乏非线性，插值区域中的预测也是不正确的，但它们的预测误差要低得多。不能保证您的点之间不会有意外的关系（即插值区域），但通常不太可能。

我要补充一点，外推并不总是一个糟糕的主意——如果你在数据范围之外进行一点点外推，你可能不会错（尽管有可能！）。没有良好的世界科学模型的古人，如果他们预测第二天和后天太阳会再次升起，也不会大错特错（尽管在遥远的未来一天，即使这样也会失败）。

指数增长的简单短期外推已经相当准确。如果你是一个没有科学专业知识但想要一个粗略的短期预测的学生，这会给你相当合理的结果。但是，您推断的数据离您的数据越远，您的预测就越有可能失败，并且灾难性地失败，正如在这个伟大的线程中很好地描述的那样：推断有什么问题？（感谢@JMisnotastatistician 提醒我这一点）。$_2$

根据评论进行编辑：无论是插值还是推断，最好有一些理论来支持预期。如果必须进行无理论建模，则插值的风险通常小于外插的风险。也就是说，随着数据点之间的差距越来越大，插值也变得越来越充满风险。

本质上，插值是数据支持内或现有已知数据点之间的操作；外推是超出数据支持的。否则，标准是：缺失值在哪里？

造成这种区别的一个原因是，外推通常更难做好，甚至是危险的，如果不实际的话，在统计上也是如此。这并不总是正确的：例如，河流洪水可能会淹没测量流量甚至水位（垂直水位）的手段，从而在测量记录中撕裂一个洞。在这些情况下，放电或阶段的插值也很困难，并且在数据支持范围内也无济于事。

从长远来看，质变通常会取代量变。大约在 1900 年，人们非常担心马车交通的增长会淹没城市，其中大部分是不需要的粪便。排泄物的指数被内燃机及其不同的指数所取代。

趋势是趋势是趋势，
但问题是，它会弯曲吗？ 它会通过一些不可预见的力量
改变它的路线 并过早结束吗？

——亚历山大·凯恩克罗斯

Cairncross, A. 1969。经济预测。经济杂志，79：797-812。doi:10.2307/2229792（引用第 797 页）

TL;DR 版本：

• 插值发生在现有数据点之间。
• 额外的极化发生在他们之外。

助记符：插值 = >侧面。

FWIW：前缀inter- 表示介于 之间，extra- 表示超出。还可以考虑在州际公路或来自地球以外的外星人的州际公路。

例子：

研究：想要对 6-15 岁女孩的身高进行简单的线性回归。样本量为 100，年龄按（测量日期 - 出生日期）/365.25 计算。

数据收集后，模型拟合并得到截距 b0 和斜率 b1 的估计值。这意味着我们有 E(height|age) = b0 + b1*age。

当您想要 13 岁的平均身高时，您会发现 100 个女孩的样本中没有 13 岁的女孩，其中一个是 12.83 岁，一个是 13.24。

现在将年龄 = 13 代入公式 E(height|age) = b0 + b1*age。它被称为插值，因为 13 岁被用于拟合模型的数据范围所覆盖。

如果您想获得 30 岁的平均身高并使用该公式，这称为外推，因为 30 岁超出了您的数据涵盖的年龄范围。

如果模型有多个协变量，则需要小心，因为很难绘制数据覆盖的边界。

在统计学中，我们不提倡外推。