信息处理 - 如何正确地将一个函数相对于另一个函数进行时移 - 吾爱随笔录

如何正确地将一个函数相对于另一个函数进行时移

信息处理信号分析

2022-02-06 06:03:39

我在作业中遇到了一个时变问题，我认为这与我对时移函数如何工作的理解有关。该问题要求确定下面定义的系统是时变的还是时不变的。

\begin{matrix} (1) & S : x (t) \to y (t) = x (t - 2) + x (2 - t) \end{matrix}

$S: x(t) \to y(t) = x(t-2) + x(2-t) \tag{1}$ 我这样解决了

\begin{matrix} (2) & x_{d e l a y e d} (t) = x (t - τ) \end{matrix}

$x_{delayed}(t) = x(t - \tau)\tag{2}$ 和

\begin{matrix} (3) & y_{d e l a y e d} (t) = x (t - τ - 2) + x (2 - t + τ) \end{matrix}

$y_{delayed}(t) = x(t-\tau-2) +x(2-t +\tau) \tag{3}$

然后我延迟了原始输出 $y(t)$ 从 $(1)$ 到

\begin{matrix} (4) & y (t - τ) = x (t - τ - 2) + x (2 - t + τ) \end{matrix}

$y(t-\tau) = x(t-\tau-2) + x(2-t+\tau) \tag{4}$ 我认为这是不正确的。我认为相反，它应该是

\begin{matrix} (5) & y (t - τ) = x (t - τ - 2) + x (2 - t - τ) \end{matrix}

$y(t-\tau) = x(t-\tau-2) + x(2-t-\tau) \tag{5}$

我相信我的问题来自我对如何延迟与另一个功能相关的功能的理解。四处搜寻并没有太大帮助。最终我的问题是，应该

\begin{matrix} (6) & y (t) = x (- t) \end{matrix}

$y(t) = x(-t) \tag{6}$

\begin{matrix} (7) & y (t - τ) = x (- t + τ) \end{matrix}

$y(t - \tau) = x(-t + \tau\tag{7})$ 或者

\begin{matrix} (8) & y (t - τ) = x (- t - τ) \end{matrix}

$y(t-\tau) = x(-t-\tau)\tag{8}$ 使用

(7)

$(7)$ 给出了我目前的答案，

(4)

$(4)$ , 使用时

(8)

$(8)$ 给了我我认为正确的答案，

(5)

$(5)$ . 我找到了两个答案的证明，这只会让我更加困惑，所以哪个是正确的，我应该如何时移函数？欢迎和赞赏任何帮助，谢谢。

2个回答

看看，如果你要离开 $y(t)$ 到 $y(t-\tau)$ 那么你应该更换每个 $t$ 在第一个 $t-\tau$ . 这意味着，在您的情况下，

y (t - τ) = x (t - τ - 2) + x (2 - (t + τ)) = x (t - τ - 2) + x (2 - t + τ)

$y(t-\tau) = x(t-\tau-2) + x(2-(t+\tau)) = x(t-\tau-2) + x(2-t+\tau)$

换句话说，

y (t) = x (- t) ⟹ y (t - τ) = x (- (t - τ)) = x (- t + τ)

$y(t) = x(-t)\implies y(t - \tau) = x(-(t - \tau))= x(-t + \tau)$

错误在于通过系统转换延迟输入。使用定义的系统

\begin{matrix} (1) & S : x (t) \to y (t) = x (t - 2) + x (2 - t) \end{matrix}

$S: x(t) \to y(t) = x(t-2) + x(2-t)\tag{1}$ 和

\begin{matrix} (2) & x_{d e l a y e d} (t) = x (t - τ) \end{matrix}

$x_{delayed}(t) = x(t-\tau)\tag{2}$ 输出应该是

\begin{aligned} (3) & y_{d e l a y e d} (t) & = x_{d e l a y e d} (t - 2) + x_{d e l a y e d} (2 - t) \\ = x ((t) - τ - 2) + x (2 - (t) - τ) \\ (4) & = x (t - τ - 2) + x (2 - t - τ) \end{aligned}

$\begin{align} y_{delayed}(t) & = x_{delayed}(t-2) +x_{delayed}(2-t)\tag{3}\\ &= x((t)-\tau-2) +x(2-(t)-\tau)\\ &= x(t-\tau-2) +x(2-t-\tau)\tag{4}\\ \end{align}$ 不等于正确确定的

\begin{matrix} (5) & y (t - τ) = x (t - τ - 2) + x (2 - t + τ) \end{matrix}

$y(t-\tau) = x(t-\tau - 2) + x(2-t+\tau)\tag{5}$ 发生此错误是因为在插入时

(2)

$(2)$ 进入

(3)

$(3)$ ，我假设你插入

t - τ

$t-\tau$ 哪里有

t

$t$ 在

x_{d e l a y e d} (t)

$x_{delayed}(t)$ . 这是错误的，系数

t

$t$ 在

x_{d e l a y e d} (t)

$x_{delayed}(t)$ 只对

t

$t$ 在

t - τ

$t-\tau$ ，而不是

- τ

$-\tau$ . 因此，结果是

(4)

$(4)$ 这不等于

(5)

$(5)$ , 问题得到正确解决。

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