我试图直观地理解正弦信号的基频从时域到频域的映射，使用$\textrm{DFT}$公式。给定时域样本$\{x[0], x[1], \dots, x[N - 1]\}$; 我们从$\textrm{DFT}$公式：

$X(f_k) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{N - 1}x[n]\exp\left(-j2\pi f_kn\right)\tag{1} \label{dft}$

为了$f_k = k/N$和$k =0, 1, \cdots, N - 1$.

为此，我在 Matlab 及其窗口版本中使用了正弦信号。这是我的 Matlab 代码的摘录：

Fs = 1000; 
Ts = 1/Fs;
t = 0:Ts:(1000 - 1)*Ts; %1sec

A = 2;
F = 20; 
y1 = A*sin(2*pi*F*t); 
y2 = y1.*hann(length(y1))';

nfft = 2^nextpow2(length(y1));
Fy = (Fs/2)*linspace(0, 1, nfft/2+1);

Y1 = 2*abs(fft(y1, nfft));
Y1(1) = .5*Y1(1);
Y1 = Y1./max(Y1);

Y2 = 2*abs(fft(y2, nfft));
Y2(1) = .5*Y2(1);
Y2 = Y2./max(Y2);

有关信号的时域和频域图，请参见下图

我有两个问题：

1. 怎样才能直观地看出指数的线性组合$\eqref{dft}$将产生一个具有绝对幅度的总和$\left| X(f_k)\right|$在基频处有最大值$\textrm{F = 20 Hz}$? 或者这是绝对幅度谱的优化问题$\left|X(f_k)\right|$写给$f_k$? 或者这只是$\textrm{DFT}$?

2. 非矩形窗口的信号逐渐变细如何解释$\eqref{dft}$最大值的更好定位在$\textrm{F = 20 Hz}$（即基频附近的泄漏最小化） ? 我很了解窗户，泄漏的理论。我更多的是寻找基于方程式的解释$\eqref{dft}$. 从目视检查$y_1$和$y_2$在上图中，如何从线性组合中得出结论$\eqref{dft}$, 形状的差异 $\left|Y_1(f_k)\right|$和$\left|Y_2(f_k)\right|$?