信息处理 - 优化方阵与另一个矩阵相乘以得到酉矩阵 - 吾爱随笔录

优化方阵与另一个矩阵相乘以得到酉矩阵

信息处理矩阵优化线性代数凸优化

2022-02-07 12:39:45

我有一个大小为的方阵乘以另一个方阵，我需要优化矩阵以获得酉矩阵。我的意思是优化矩阵，例如是一个酉矩阵。 $D$ $m \times m$ $m \times m$ $C$ $C$ $DC$ $C$ $DC$

在我看来，可以这样表述：

\begin{aligned} min_{C} ‖ D C - Y ‖_{F}^{2} & s.t. & (D C) (D C)^{H} = I_{m} \end{aligned}

$\begin{align} \min_C \|DC - Y\|^2_F&& \text{s.t.}&&(DC)(DC)^H = I_m \end{align}$

其中 $\|\cdot\|_F$ 是 Frobenius 范数算子， $Y$ 是任何酉矩阵。

所以，我不知道我们是否可以将上述等式作为 Procrustes 问题的变体来处理，或者那是不可能的。是否可以按照我的方式基于 $C$ 还是有另一种方法可以将矩阵 $C$ 设置为 $(DC)(DC)^H = I_m$ ？

注意：所有矩阵都是实数并且 $det(D) = 0$ 。

2个回答

难道你确实在寻找最接近的正交矩阵？的平方根。如果是可逆的，则解将是它的逆。然而，它在这里是不可逆的。然后，有一个窍门。如果我没记错的话，你必须执行替换空特征值，然后你会得到一个新的矩阵，它是可逆的，它的逆矩阵是（唯一的）解。 $Y$ $D^TD$ $E=(D^TD)^{1/2}$ $E$ $1$ $E^*$

如果我写的足够正确，我可能会回来提供详细信息。同时，您可以查看：

如果 D 不是单数，即比简单的可以解决问题，因为，这显然是单一的。 $\operatorname*{det}(D) \ne 0$ $C = D^{-1}$ $D \cdot C = I$

如果 D 是单数，即，则乘积也是单数，即这意味着对于所有可能的矩阵，乘积不能是单一的 _ $\operatorname*{det}(D) = 0$ $\operatorname*{det}(D \cdot C)=0$ $C$

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