我们有一个连贯一致的采样理论，证明可以在不丢失信息的情况下对带限信号进行采样。

我们有一个连贯一致的量化理论，证明量化总是会产生误差

“为什么”的问题毫无意义。事情就是这样。

在任何实际应用中，您都需要将理论转化为实践。这意味着采样仍然会产生错误，因为实际上并不存在带限信号，并且量化总是可以“足够好”，因为某处总是存在一些本底噪声。

采样定理告诉我们，我们只能对带限信号进行采样。这意味着，信号应该具有相对于时间的最大频率。

如果信号具有相对于幅度的最大频率，我们也可以将采样定理应用于幅度。

在采样定理中，x 轴不必是应用它的时间。这只是一个数学定理。

采样定理的原始版本：

如果一个函数$x(t)$不包含高于$B$赫兹，它完全由以一定速率采集的均匀样本确定$f_s$， 在哪里$f_s >=2B$相隔几秒。

在这种情况下，标准信号被认为是时间的函数。我们还可以将时间视为信号幅度的函数。$t(x) = sin(x)$， 在哪里$x = sin^{-1}(t)$. 如果$sin(x)$有一个最大频率$B$，如果量化以$1/2B$或更少。

正如用户 AlexTP 在他们的评论中所说：在量化中，从时间到幅度的映射是单射的，因此是一个函数；而逆映射不是（一次只能有一个幅度）。如果您假设逆映射也是单射的以使其成为函数，则该映射是双射的；所以“幅度”和“时间”是可以互换的。

所以答案是，如果信号的时间和幅度之间的关系是双射的，那么我们可以有一个类似的采样定理进行量化。

当我们采样时，一个关键的区别是时间不是自变量，这可能有助于理解。当我们采样时，我们量化时间，然后在特定的采样位置确定因变量（我们可以量化或不量化它作为不同的过程，时间采样与幅度采样无关）。

特定于时间采样：给定一个正在采样的任意独立信号，观察误差是如何在两个量化级别之间均匀分布的随机白噪声过程（正负半个量化级别或从 0 到一个量化级别，具体取决于如果我们是舍入或截断）。鉴于它是随机的并且在样本之间是独立的（白噪声），我们无法在不了解有关信号本身的更多信息的情况下重建误差，但我们能够将误差合理地表示为随机过程。

时间误差遵循类似的分布，并且当我们的因变量是时间时会很有用。如果我们对精确时间感兴趣，但只能在特定间隔内对其进行采样，那么我们确实存在时间误差，我们可以从中确定精确的时间，即我们拥有精确的无噪声幅度样本。我们在具有可变延迟元素和有效重采样（即使我们实际上没有重采样）的定时恢复算法中执行此操作，以将时间解析为感兴趣的更精细精度。采样误差也遵循随机过程的均匀分布，因此 RMS（均方根）抖动将是$T_s/\sqrt{12}$（与任何均匀分布的标准差一致）。

例如，我在雷达距离分辨率中使用了这种关系，给定系统的采样率建立时间分辨率，并根据阈值检测器实际触发本地采样时钟的时间预测实际到达时间。这将是一个示例，其中时间是因变量，并显示了我们如何对错误进行相同的处理。

一个完美的带限信号必须有无限的支持，因此必须是无限长的。可以在低于奈奎斯特频率的任何采样间隔处无误差采样的信号必须具有一个精确整数倍的量化间隔的值。

因此，我认为您的两个重建定理都需要保持的约束仅包括具有精确量化整数倍值的无限 DC 信号。例如一个常数。

不是很有用。