问题的答案（反例）

随机过程的性质通常是时间相关的。他们不仅在谈论静止过程时。另一个相关概念（此处不相关，但您可能会觉得有趣）是遍历性。我们大多数人发现很难理解这两个概念之间的区别，但是您会发现这个出色的 Dilip 的答案可以消除所有疑问。

回到你的问题：以简单的随机过程为例

$$X(t)=At$$

其中是一些随机变量，均值为。该过程的平均值将是：$A$$\mu_a$

$$\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}[At]=t\mathbb{E}[A]=t\mu_a$$

很容易看出均值取决于，因此它是时间相关的。我希望这个简单的例子能说明为什么随机过程的属性通常会随时间变化。$t$

可能有帮助的其他信息

我认为您的困惑源于认为要构建一个随机过程，您需要获取单个随机变量的许多实现并将它们按顺序排列以表示时间信号。这不是随机过程的一般构建方式。如果您这样做，则平均值不会随时间变化，因为该过程将是静止的。但如果你不这样做，它可能会或可能不会改变。

我将在这里使用一个例子来说明自己。假设你有一个随机变量，它代表掷一个公平的 6 面骰子的结果。然后。如果你掷骰子 3 次并将它们放在一起形成 3 个样本的离散时间信号，那么你将有以下随机过程：$Z$$\mu_z = 3.5$

$$X(n)=Z_1\delta(n) + Z_2\delta(n-1) + Z_3\delta(n-2)$$

其中表示对应于第次掷骰子的随机变量。$Z_i$$i$

请注意，的每个样本都是一个随机变量。一般来说，这对于任何随机过程都是正确的。对于给定的随机过程，任何将是一个随机变量。$X(n)$$X(n)$$X(n_0)$$n_0$

另一方面，一旦你掷了 3 次骰子，你就不再处理任何随机的事情了：你有一个信号。也就是随机过程的一种实现。

如果您构建一个随机过程，例如我们刚刚构建的，那么您是对的：该过程的平均值将是恒定的，并且等于用于每个样本的随机变量的平均值（如本例所示）。事实上，所有的属性都是不变的，并且等于变量的属性。但这只是在这种特定情况下，因为该过程的所有样本都是iid，因此，正如@Fat32 在评论中解释的那样，随机过程将与时间（）无关。在我们的骰子示例中：$X(n)$$t$

$$\begin{align} \mathbb{E}[X(n)]&=\mathbb{E}[Z_1\delta(n) + Z_2\delta(n-1) + Z_3\delta(n-2)]\\ &=\mathbb{E}[Z_1]\delta(n) + \mathbb{E}[Z_2]\delta(n-1) + \mathbb{E}[Z_3]\delta(n-2)] \\ & = \mu_z \qquad \text{for any} \ n\in\{0,1,2\} \end{align}$$

但随机过程并非总是如此，例如在我在答案顶部写的示例中，通过在不同值下评估随机过程获得的每个随机变量都不同于所有其他变量，因此防止从独立同分布到使其统计特性与时间相关的过程。$t$