假设$N$甚至 ：

$$\begin{align} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] ~ W_N^{kn} ~~~,~~~k=0,1,...,N-1\\ \\ &= \sum_{n=0}^{N/2-1} 1 ~ W_N^{k ~2n} \\ \\ &= \sum_{n=0}^{N/2-1} e^{-j 4\pi kn/N} \\ \\ & = \frac{ 1 - e^{-j \frac{4\pi k}{N}N/2 }}{ 1 - e^{-j 4\pi k/N}} \\ \\ & = \frac{ 1 - e^{-j 2\pi k}}{ 1 - e^{-j 4\pi k/N}}~~~,~~~k=0,1,...,N-1\\ \end{align}$$

结果等于：

$$X[k] = \begin{cases}{ ~~~ N/2 ~~~ ,~~~ k = 0, N/2 \\ ~~~~~~ 0 ~~~~~ ~ ,~ ~\text{otherwise} } \end{cases}$$

想我会发布这个，因为我写了它，只是对 Fat32 答案的确认。

让$N' = \frac{N}{2} - 1$我们有 $\sum_{0}^{\frac{N}{2} - 1} e^{\frac{-j2\pi k (2n)}{N}} = \sum_{0}^{N'} e^{\frac{-j2\pi k n}{(N'+1)}}$

然后代入几何和公式：

$=\frac{1 - e^{\frac{-j2\pi k(N'+1)}{(N'+1)}}}{1-e^{\frac{-j2\pi k}{(N'+1)}}}=\frac{1 - e^{\frac{-j2\pi k}{1}}}{1-e^{\frac{-j2\pi k}{(N'+1)}}}$

最后恢复到我们原来的变量$N=2(N'+1)$给 $=\frac{1 - e^{\frac{-j2\pi k}{1}}}{1-e^{\frac{-j4\pi k}{N}}}$